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1、第二章 一元函数微分学,一、导数定义,第一种形式：,第二种形式：,导数的几何意义：切线的斜率；,内容提要,二、求导法则,基本初等函数的导数；,导数的四则运算；,反函数、复合函数求导；,隐函数求导；,高阶导数,几个简单函数的n阶导数：,三、中值定理,费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.,四、导数的应用,洛必达法则求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题.,渐近线问题：,典型例题,解,例1,题型1：导数的定义,解,例2,连续：,可导：,解,例3,例4,(98二3),（A）3（B）2（C）1（D）
2、0,分析,解,类题,(92二3),例5,解,(99二3),（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导,选(D).,解,例6,所以,解,例7,(1),(2),及时分离非零因子,例8,解,所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).,例9,解,(A)，(B)两项中分母的极限为0，,存在.,【答案】应选(D)。,反例：,存在，,题型2：利用导数求曲线的切线和法线方程,解,例1,所以所求切线方程为,解,例2,题型3：一般导函数的计算,解,例1,先化简，,所以,例2,解,用对数求导法,解,例3,(1)式两边再关于x求导：,解,例4,例5,解,先用待定系数法分解，,另:,例6,解法
3、1,由Leibniz公式：,得,解法2,由麦克劳林公式,得,例6,题型4：可导、连续与极限的关系,解,例1,（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导,解,例1,（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导,【答案】应选(C).,题型4：可导、连续与极限的关系,类题,题型5：微分的概念与计算,解,例1,两边对x求导，,例2,解,题型6：利用导数确定单调区间与极值,解,例1,选（A）.,例2,解,根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极
4、大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).,例3,解,(03二4),(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.,例4,解,选(C).,例5,解,(96六8),两边关于x求导,得,对(1)式再求导，得,例6,解,于是所求线段的最短长度为,题型7：求函数曲线的凹凸区间与拐点,解,例1,解,例2,故应选(C).,题型8：求函数曲线的渐近线,解,例1,（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条,选(B).,（A）没有渐近线（B
5、）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线,选(D).,解,例2,(91二3),例3,解,（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条,故应选(D).,例3,解,（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条,【评注】,例3,（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条,解,例4,（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条,故应选(D).,题型9：确定函数方程 f(x)=0 的根,解,例1,（A）2（B）4（C）6（D）8,选(B).,【评注】,证,例2,证,例3,的零点的个数。,只有一个交点；,有两个交点；,题型10：确定方程,的根,例1,证,(1),分析：用微分方程法,原等式改
6、写为,证,(2),例1,证,且由题设及(1)知,例1,(95七5),类题,例2,证,05(18)12,()略.,所以,例3,解,【证明】,不妨设存在,例4,题型11：利用导数证明不等式,证,例1,于是,证法1,【分析】根据所证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.,例2,04(15)12,证法2,例2,再用单调性进行证明即可.,例2,题型12：导数在经济上的应用,解,例1,需求弹性为,例2,解,(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.,（1）利润函数为,例2,解,(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.,（2）,（3）,例3,解,根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末总收入R的现值为,END,END,解,例3,(05二4),(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.,所以,选(C).,解法1,例5,(90,3),解法2,一般，斜渐近线 求法：,解,【05,4】,所求斜渐近线方程为,类题,
