正多面体与欧拉定理.ppt

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1、正多面体与欧拉定理,定义:每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体,正多面体:,正多面体有且仅有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,正多面体有且仅有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,正多面体的展开图,著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数,首先用表示连加,首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体

2、研究中,首先发现并证明欧拉公式,欧拉,欧拉公式及其应用,讨论,问题1:(1)数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,(1),(2),(3),规律:,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,20,12,30,(4),(6),问题1:(2)数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,讨论,(5),5,8,5,7,8,12,图形编号,顶点数V,面数F,棱数E,(5),(6),12,12,24,(7),(7),多面体,简单多面体,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体,V+F-E=2,简单多面体,欧拉公式,欧拉示性数,问题2:如何证明欧拉公式,讨论,问题2:如何证明

3、欧拉公式,讨论,压缩成平面图形,1、(1)一个简单多面体的各面都是三角形,则它的顶点数V和面数F的关系为_。,欧拉公式的应用,(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,则顶点数V与面数F满足的关系为_。,欧拉公式的应用,2、简单多面体的每个面都是五边形,且每个顶点的一端都有三条棱,求这个多面体的面数和棱数,4、一个凸多面体的棱数是30,面数为12,则它的各面多边形内角的总和为_。,5、是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且每一个面都有奇数条边,欧拉公式的应用,3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状这个多面体有6

4、0个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少?,小结,猜想,证明,应用,空间问题平面化,V+F-E=2,欧拉公式,对平面图形,我们来研究:,在此过程中 的值不变,但这时面数 是0。所以 的值也不变。,最后只剩下,所以 最后加上去掉的一个面,就得到,例1.由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种,证明:设正多面体的每个面的边数为n,每个顶点连有m条棱,,令这个多面体的面数为F,每个面有n条边,故共有nF条边,,由于每条边都是两个面的公共边,,故多面体棱数(2),令这个多面体有个V顶点,每一个顶点处有m条棱,故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点,,故多面体棱数(1),由(1)(2)得:,代入欧拉公式:,又,但m,n不能同时大于3,,(若,则有,即 这是不可能的),m,n中至少有一个等于3令,则,,,同样若 可得,

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