565第3章 导数应用.ppt

《565第3章 导数应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《565第3章 导数应用.ppt（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第3章 导数应用,3.1 函数的单调性,定理1 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区,间(a,b)内可导，则：,1.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调增加,2.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调减少。,a,b,a,b,3.3.1 函数的单调性及判别法,例2 确定函数 的单调区间.,可导，且等号只在 x=0 成立.,解 因为所给函数在区间 上连续，在 内,例1 判定函数 在区间 上的单调性.,解,所以当 x=-1,x=1时,解 函数的定义域 且在定义域内连续,例3 确定函数,的单调区间。,其导数为,当 时 不存在，且不存在使 的点,用 把定义域分成两个区间，

2、见下表：,反之，如果对此邻域内任一点，恒有 则称 为函数 的一个极小值，称为极小值点。,3.2 函数的极值,定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点，恒有，则称 是函数 的一个极大值，称为函数 的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。,定理3（极值第一判别法）：,设函数 在点 的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外

3、）可导,（1）如果当 时，而当 时，则 在 取得极大值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在 取得极大值。,（2）如果当 时，而当 时，则 在 取得极小值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在 取得极小值。,（3）如果在 两侧 的符号不变，则 不是 的极值点，如图示,(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.,(2)求出,求出使 的点及 不存在的点;,讨论在每个区间 的符号;,(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.,例4

4、 求函数 的单调区间和极值.,解 函数的定义域为,这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,令 得,由于,定理4(极值的第二判别法)设函数 在点 处具有,二阶导数，且，；,（1）若，则 是函数 的极小值点；,（2）若，则 是函数 的极大值点；,例5 求函数 的极值.,解 函数的定义域为,所以 为极大值,为极小值.,3.2.2 函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者,最小的就是函数在区间,上的最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值 和;,1.区间,如下几类点的函数值得到：,上的最大值和最小值。,在驻点处函数值分别为

5、,在端点的函数值为,最大值为,最小值为,解,令,，得驻点,比较上述5个点的函数值，即可得 在区间,上的,列表讨论如下,其中，；,3.5 导数在经济中的应用,3.5.1 函数的变化率边际函数,边际函数值。其含义为:当 时,x改变一个单位，相,相应地 y 约改变 个单位,当 时,实际上，,解,所以,边际成本是总成本的变化率。设C为总成本，,下面介绍几个常见的边际函数:,1边际成本,为固定成本，,则有,为可变成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量，,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,时的总成本，平均成本及边际成本。,解 由,令 得,边际成本,于是当 时,总成本,平均成本,Q 为多少时，平均

6、成本最小?,例3 在例1中，当产量,解,所以,当Q=20时平均成本最小。,2收益,平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。设P为商品价格，Q 为商品量，R 为总收益，为平均收益，为边际收益，则有,需求函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,需求与收益有如下关系:总收益,平均收益,边际收益,总收益与平均收益及边际收益的关系为,求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。,例4 设某产品的价格和销售量的关系为,解 总收益,平均收益,边际收益,3利润,在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量,

7、的函数，分别记为,和,，则总利润,可表,示为,最大利润原则:,取得最大值的必要条件为,即,所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本,例5 已知某产品的需求函数为,成本函数为,问产量为多少时总利润 L 最大?,解 已知,于是有,令 得,所以当Q=20时总利润最大,例6某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知收益,解 根据题意，总成本函数为,是年产量,的函数,问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?,从而可得总利润函数为,令 得,由于,故 时利润最大,此时,即当生产量为300个单位时,总利润最大,其最大利润为25000元.,设某企业某种

8、产品的生产量为 个单位,代表总成本,代表边际成本,每单位产品的平均成本为,在生产实践中,经常遇到这样的问题,即在既定的生产规模条件下,如何合理安排生产能使成本最低,利润最大?,4成本最低的生产量问题,于是,由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量,应满足,于是得到一个经济学中的重要结论:,使平均成本为最小的生产水平（生产量），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。,例7 设某产品的成本函数为,试求使平均成本最小的产量水平。,解 平均成本,令 解得,由于,所以 是平均成本 的最小值点也就是平均成本最小的产量水平,此时,即 时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小.,5库存管

9、理问题,在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与保管费用是成反比的。,订购批量大,次数少,费用就小,保管费用就相应增加；,订购批量小,次数多,费用就大,保管费用就相对较少。,因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存，每天保证等量供应生产需要，使之不发生缺货。,假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为P,平均一次,因此订货费用为,2）保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，,订货费用为C1，年保管费用率（即保管费用与库存商品价,值之比）为，订货批量为，进货周期（两次进货

10、间隔)，进货周期，则年总费用由两部分组成：,)订货费用每次订货费用为1，年订货次数为,所以全年每天平均库存量为，故保管费用为,于是总费用,故可用求最值法求得最优订购批量，,最优订购次数,以及最优进货周期,，此时总费用最小。,解 设最优订购批量为则订购次数为,例8 某种物资一年需用量为24000件，每件价格为40元，年保管费率12%,为，每次订购费用为64元，试求最优订购批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）,于是订货费用为,，保管费用为,从而总费用,又因为,于是当,件时总费用最低，从而,最优订货批量(件/批),最优订货批次(批/年),最优进货周期(天)(全年按36

11、0天计),最小进货总费用(元),令 得(件/批),3.5.2 函数的相对变化率函数的弹性,1、弹性,定义2 设函数,在点,与自变量的相对改变量,之比,称为函数从,到,当,时，,的极限称为,在,导数，也就是相对变化率，或称弹性。,两点间的相对变化率，,或称两点间的弹性,处的相对,记作,处可导,函数的相对改变量,是 的函数,若 可导,即,为定值。,对一般的,的弹性函数。,函数 在点 的弹性 反映了随着 的变化,变化幅度的大小,也就是 随 变化反映的强烈列程度或灵敏度.,表示在,当 产生1%的变化时,近似的,称为,当,为定值时,则有,改变,(为常数）的弹性函数。,例9 求函数 在 处的弹性.,解,例

12、10 求幂函数,解,可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处弹性不变，所以称为不变弹性函数,为商品在价格为时的需求价格弹性记为即,2需求弹性与供给弹性(1)需求弹性,“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，P 表示商品,的价格,Q 表示需求量，称为需求函数。,定义3 设某商品的需求函数在P处可导,称,解 需求函数为,例11 已知某商品的需求函数 求,时的需求弹性并说明其意义,说明P=5时，价格上涨1%，需求量减少0.5,说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同,说明P=15时，价格上涨1%，需求量减少1.5,（2）供给弹性,“供给”是指在

13、一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，,P表示商品的价格，,Q表示供给量，,称为供给函数,我们用D表示需求曲线，用表示供给曲线，如图示,定义4 设某商品的供给函数在处可导，称,为商品在价格,即,为时的供给弹性，记,当时，需求量 大于供给量，供不应求，会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，增加；,（3）均衡价格,均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图中是在需求曲线与供给曲线的交点处的处的横坐标，此时需求量与供给量均为,称均衡商品量,当时，需求量 小于供给量，供大于求；商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，P减小。,总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动,而将 的商品称为富有弹性商品,由于，而边际收益,当时，取得最大值,3.边际收益与需求弹性的关系,由此可知，当 时，递增，即价格上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少,当 时，递增，即价格上涨会使总收益减少；价格下跌会使总收益增加,在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，将 的商品称为单位弹性商品，,