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1、1,3.1.2 用二分法 求方程的近似解,新教材研讨,用二分法求方程的近似解,授课人：高海洋,知识探究（一）:二分法的概念,思考:从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？,如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,B,6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,1.首先从中点C查,2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段,3.再到BC段中点D,4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段,5.再到CD中点E来看,二、方法探究,(1)不解方程,如何求方程 的一个正的近似解.(精确到0.1),例1.不解方程，求方
2、程X2-2X-1=0的一个正近似解,分析：设 先画出函数图象的简图，,如何进一步有效缩小根所在的区间？,第一步：得到初始区间（2，3）,第二步：取2与3的平均数2.5,第三步：再取2与2.5的平均数2.25,如此继续取下去：,若要求结果精确到0.1，则何时停止操作？,-+,f(2)0 2x13,-+,f(2)0 2x12.5,-+,f(2.25)0 2.25x12.5,-+,f(2.375)0 2.375x12.5,-+,f(2.375)0 2.375x12.4375,2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,此方程的近似解为,若要求结果精确到0.01，则何时停止操作？,二、方法
3、探究,思考,函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点,如何找出这个零点？,请看下面的表格：,f(2)0,2.5,f(2.5)0,(2.5,3),f(2.5)0,2.75,f(2.75)0,(2.5,2.75),f(2.5)0,2.625,f(2.625)0,(2.5,2.625),f(2.5)0,2.5625,f(2.5625)0,(2.5,2.5625),f(2.5)0,2.53125,f(2.53125)0,表续,二、方法探究,(2)能否简述上述求方程近似解的过程?将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间，如此继续下去，直到满足精度要求的根为止。,(3)二分
4、法（bisection method）：像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。,对于在区间a,b上连续不断且 f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection),二分法的定义：,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：,1、确定区间a,b，验证f(a).f(b)0,给定精确度；,2、求区间（a,b）的中点x1，,3、计算f(x1),若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；,若f(a).f(x
5、1)0，则此时零点x0(a,x1),若f(x1).f(b)0，则此时零点x0(x1,b),4、判断是否达到精确度，即若|a-b|则得到零点近似值a(或b),否则重复24,三、自行探究,利用计算器，求方程 的近似解(精确到0.1),解:(法一)画出 的图象，观察图象得，方程 有惟一解，记为，且这个解在区间(1,2)内。,三、自行探究,(1,2),f(1)0,1.5,f(1.5)0,(1,1.5),f(1)0,1.25,f(1.25)0,(1.25,1.5),f(1.25)0,1.375,f(1.375)0,(1.375,1.5),f(1.375)0,1.4375,f(1.4375)0,(1.37
6、5,1.4375),f(1.375)0,因为1.375,1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的近似解为x1 1.4,三、自行探究,(法二）画出g(x)=2x及h(x)=4-x的图象，观察图象得，方程2x+x=4有惟一解，记为x1，且这个解在区间(1,2)内。,例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）,解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：,函数未命名.gsp图象,因为f(1)f(2)0所以 f(x)=2x+3x-7在（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点x1
7、=1.5，f(1.5)=0.33，因为f(1)f(1.5)0所以x0（1，1.5）,取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0（1.25，1.5）,同理可得，x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.4375），由于|1.375-1.4375|=0.0625 0.1所以，原方程的近似解可取为1.4375,不行,因为不满足 f(a)*f(b)0,四、归纳总结,用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步骤：,1、寻找解所在区间,（1）图象法,先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标所处的范围；或画
8、出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。,把方程均转换为f(x)=0 的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在的区间。,四、归纳总结,若x(a,b),不妨设f(a)0,3、根据精确度得出近似解 当x(m,n),且m,n根据精确度得到的近似值均为同一个值p时，则x p，即求得了近似解。,2、不断二分解所在的区间,(3)若f()=0,则x=,(2)若f()0,则x(,b),对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的区间。,五、课堂练习,课堂小结,算法：如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到惟一的结果，我们常把这类问题的求解过程叫做解决这类问题的一种算法。算法特点：算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。更大的优点是它可以让计算机来实现。,谢谢大家，再见！,练习,借助计算器或计算机，用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间（0，1）内的近似解（精确度0.1）,小结和作业,1.二分法的定义；,2.用二分法求函数零点近似值的步骤。,3.作业：p100 第2题,
