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1、第3章 矩阵的初等变换与线性方程组,3.1 矩阵的初等变换3.2 初等矩阵3.3 矩阵的秩3.4 线性方程组的解,天津师范大学计算机与信息工程学院 郑陶然,3.1 矩阵的初等变换,上页,下页,返回,首页,结束,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,显然 交换B的第1行与第2行即得B1,增广矩阵的比较,例如,下页,显然
2、把B的第3行乘以(1/2)即得B2,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,下页,显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,下页,线性方程组与其增广矩阵相互对
3、应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,下页,下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去,矩阵的初等变换,这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换,例如 变换ri+krj的逆变换为r
4、i+(k)rj(或记作rikrj),rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,初等变换的符号,下页,矩阵的等价关系,如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B,等价关系的性质(i)反身性 AA(ii)对称性 若AB 则BA(iii)传递性 若AB BC 则AC,下页,r3r4,0 0 0 2 6,1 1 2 1 4,0 2 2 2 0,0 5 5 3 6,0 3 3 4 3,1 1 2 1 4,2 1 1 1 2,2 3 1 1 2,3 6 9 7 9,r
5、42r3,矩阵初等变换举例,r1r2,r2r3,r32r1,r43r1,1 1 2 1 4,0 1 1 1 0,0 0 0 2 6,0 0 0 1 3,r22,r35r2,r43r2,r32,r1r2,r2r3,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,1 0 1 0 4,0 1 1 0 3,0 0 0 0 0,0 0 0 1 3,下页,可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,下页,矩阵初等变换举例,对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0,矩阵的标准形,比如上述行最简形矩阵经初等列变
6、换得,下页,因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组,行最简形矩阵与线性方程组的解,矩阵初等变换举例,完整解题过程,下页,矩阵初等变换举例,所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的,行最简形矩阵与线性方程组的解,结束,3.2 初等矩阵,矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用,上页,下页,结束,返回,首页,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵,E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵,E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i
7、行上 或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵,E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵,例如,下页,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵,E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵,E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵,E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵,初等矩阵都是可逆的 并且,初等矩阵的可逆性,E(i j)1E(i j),E(ij(k)1E(ij(k),下页,定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个
8、mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵,例如 设 则有,下页,例如 设 则有,定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵,下页,定理2(矩阵可逆的充要条件)方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl,推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB,定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的
9、作用)设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵,推论1,下页,设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 显然A1也可逆 所以存在初等矩阵P1 P2 Pl 使 A1P1P2 Pl 于是有 A1AP1P2 Pl A 即 E P1P2 Pl A及 A1BP1P2 Pl B 这表明 如果对A进行若干次初等行变换化为E 则对B进行同样的初等行变换将化为A1B 两式合起来为 P1P2 Pl(A B)(E A1B),矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵,求逆矩阵的初等行变换法,下页,设
10、A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 则存在初等矩阵P1 P2 Pl 使 P1P2 Pl(A B)(E A1B),上式的意义(i)取BE时 上式成为P1P2 Pl(A E)(E A1)(ii)当A为可逆矩阵时 方程AXB的解为XA1B 求AXB的解可以对(A B)进行初等行变换 使之成为(E A1B)此时即得XA1B,矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵,求逆矩阵的初等行变换法,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1),例1 设 求A1,解,(A E),因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1),例1 设 求A1,r,(
11、A E),所以,解,因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B),记X(x1 x2)B(b1 b2)则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AXB,解,因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B),例3 求解矩阵方程AXAX 其中,把所给方程变形为(AE)XA,解,因为,所以,讨论 如何求解矩阵方程XAB?其中A可逆,结束,提示,3.3 矩阵的秩,我们已经知道 给定一个mn矩阵A 它的标准形,由数r完全确定 这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A的秩,上页,下页,结束,返回,首页,k阶子式 在mn矩阵A中 任取k行与k列(
12、km kn)位于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式,例如,下页,说明,矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0,矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数,(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有t阶子式全为0 则R(A)t(2)若A为mn矩阵 则0R(A)minm n(3)R(AT)R(A),几个简单结论,下页,矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且
13、所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0,(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有t阶子式全为0 则R(A)t(2)若A为mn矩阵 则0R(A)minm n(3)R(AT)R(A),几个简单结论,(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵,下页,提示,例1 求矩阵A和B的秩 其中,在A中 容易看出一个2阶子式,A的3阶子式只有一个|A|经计算可知|A|0 因此R(A)2,以三个非零行的首非零元为
14、对角元的3阶子式,是一个上三角行列式 它显然不等于0 因此R(B)3,B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵 其所有4阶子式全为零,对于行阶梯形矩阵 它的秩就等于非零行的行数,下页,定理1 若AB 则R(A)R(B),根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩,下页,因为,解,所以R(A)3,为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵,因为A0的子式,所以这个子式是A的最高阶非零子式,下页,注,以B为增广矩阵的线性方程组Axb是无解的 这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程01,对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵
15、设B的行阶梯形矩阵为B0(A0 b0)则A0就是A的行阶梯形矩阵 故从B0(A0 b0)中可同时看出R(A)及R(B),解,因为,所以R(A)2 R(B)3,下页,例4 设 已知R(A)2 求与的值,解,因R(A)2 故,下页,(6)R(AB)R(A)R(B),(5)maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地 当Bb为列向量时 有R(A)R(A b)R(A)1,(4)若P、Q可逆 则R(PAQ)R(A),这是因为(AB B)(A B)于是,下页,R(AB B)R(A B),R(AB),R(A)R(B),矩阵秩的性质,(1)0R(Amn)minm n(2)R(AT)R(A)(3)若
16、AB 则R(A)R(B),矩阵秩的性质,(8)若Amn BnlO 则R(A)R(B)n,(7)R(AB)minR(A)R(B),(6)R(AB)R(A)R(B),(5)maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地 当Bb为列向量时 有R(A)R(A b)R(A)1,(4)若P、Q可逆 则R(PAQ)R(A),下页,(1)0R(Amn)minm n(2)R(AT)R(A)(3)若AB 则R(A)R(B),提示,而R(EA)R(AE)所以R(AE)R(AE)n,例5 设A为n阶矩阵 证明R(AE)R(AE)n,证明,因为(AE)(EA)2E,由性质(6)有,R(AE)R(EA),R(2
17、E)n,R(AB)R(A)R(B),结束,3.4 线性方程组的解,我们知道 n未知数m个方程的线性方程组,可以写成Axb 其中A(aij)x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T 矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容,上页,下页,结束,返回,首页,定理1 n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n,说明 Axb无解R(A)R(A b)的等价叙述 Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)
18、Axb无解 R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 要证明定理 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解,下页,定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b),定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n,定理1 n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n,当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为,线性方程组的通解,这是方程
19、组的含有参数的解 称为方程组的通解,令xr1c1 xncnr 可得,其中xr1 xn是自由未知数,下页,求解线性方程组Axb的步骤(1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解,下页,对系数矩阵A施行初
20、等行变换 得,解,由此得,或,其中c1 c2为任意实数,例1 求解齐次线性方程组,下页,例2 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B施行初等行变换 得,可见R(A)2 R(B)3,故方程组无解,下页,所以有,例3 求解非齐次线性方程组,解,因为,即,下页,(c1 c2R),解,对增广矩阵B施行初等行变换 得,(1)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解(2)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解,下页,解,(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解,这时,由此得,下页,定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B),定理5 设ABC 则R(C)minR(A)R(B),定理6 矩阵方程AmnXnl0只有零解的充分必要条件是R(A)n,结束,其它结论,
