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1、弧长与扇形的面积,复习,2、已知O半径为R，O的面积S是多少?,S=R2,C=2R,1、已知O半径为R，O的周长C是多少？,制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题,（1）半径为R的圆,周长是多少？,C=2R,（3）1圆心角所对弧长是多少？,（4）140圆心角所对的 弧长是多少？,（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？,n,A,B,O,若设O半径为R，n的圆心角所对的弧长为，则,探索研究 1,360,结论：,如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R，那么，弧长的计算公式为：,弧长公式,若设O半径为R，n的圆心角所对的弧长为
2、l，则,在应用弧长公式 进行计算时,要注意公式中n的意义,n表示1圆心角的倍数,它是不带单位的；公式中l、n、R，已知其中两个量就可求第三个量,注意：,制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm),解：由弧长公式，可得弧AB 的长,L（mm）,因此所要求的展直长度,L（mm）,答：管道的展直长度为2970mm,例1：,已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60，求此圆弧的长度。,解：,例 题 剖 析,注意：题目没有特殊要求，最后结果保留到,尝试练习1,已知弧所对的圆周角为90,半径是4,则弧长为多少？,什 么 是 扇 形？,如下图，
3、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。,O,B,A,圆心角,如 何 求 扇 形 的 面 积？,设 问：,扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？,想 一 想：,1.圆心角是3600的扇形面积是多少？,2.圆心角是1800的扇形面积是多少？,3.圆心角是900的扇形面积是多少？,4.圆心角是2700的扇形面积是多少？,结 论：,(当圆半径一定时)扇形的面积随着圆心角的增大而增大。,圆心角是10的扇形面积是多少？,圆心角为n0的扇形面积是多少?,结 论：,如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：,扇形面积公式,若设O半径为R，圆
4、心角为n的扇形的面积S扇形，则,注意:,（1）公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；,（2）公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.,O,比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:,弧 长 公 式 与 扇 形 面 积 公 式 的 区 别,例2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。,C,D,S弓形=S扇形-S,例题点评,解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C.,OC=0.6，DC=0.3,在RtOAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：,OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3,A
5、OD=60，AOB=120,在Rt OAD中，OD=0.5OA,0.6,0.3,C,D,OAD=30,有水部分的面积为=,练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。,A,B,D,C,E,变式训练,S弓形=S扇形+S,感悟：当弓形面积小于半圆时S弓形=S扇形-S当弓形面积大于半圆时S弓形=S扇形+S,回顾反思,组合图形的面积：,（1）割补法,（2）组合法,其中：当弓形面积小于半圆时S弓形=S扇形-S当弓形面积大于半圆时S弓形=S扇形+S,随堂训练,1、已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_.,2、已知扇形面积
6、为，圆心角为60，则这个扇形的半径R=_,3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为，则扇形的面积为_,做一做：,4、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为cm,则该扇形的面积是_cm2,已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为cm,则该扇形的面积是_cm2,回顾思考,例题解析,扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求AB的长和扇形AOB的面积,A,O,B,圆心角为60的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长（3.14）,52.33(平方厘米)；,扇形的周长为,30.47（厘米）。,解:因为n60，r10厘米，所以扇形面积为,注：扇形的周长=两条半径+一条弧,例 题 剖 析,例1求图中红色部
7、分的面积.（单位：cm,取3.14，得数保留整数）,解二（间接求法）S扇形S大圆S小扇形,r=15cm,n=360o72o=288o,565（cm2）,解一(直接用扇形面积公式计算),2.(2006,武汉)如图,A、B、C、D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是_.,点击中考,3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角（）(A)300(B)360(C)450(D)600,小练习,扇形面积大小（）(A)只与半径长短有关(B)只与圆心角大小有关(C)与圆心角的大小、半径的长短有关,如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面
8、积是S，那么n等于（）(A)(B)(C)(D),C,C,B,已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积,例2：如图，把RtABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC=1,A=300。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长。,6、（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留,）,随堂训练,C,当堂训练,当堂训练,效果检测,3.已知等边三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.,小 结,2.扇形面积公式与弧长公式的区别：,1.扇形
9、的面积大小与哪些因素有关？,（1）与圆心角的大小有关,（2）与半径的长短有关,3.扇形面积单位与弧长单位的区别：,（1）扇形面积单位有平方的,（2）弧长单位没有平方的,.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至B2结束所走过的路径长度_.(07年湖北),B,B1,B2,决胜中考,1.如图，已知扇形AOB的半径为10cm，AOB=60，求弧AB的长和扇形AOB的面积(写过程）,当堂测验,2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角是_,3、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为cm,则该扇形的面积是_cm2,扇形的圆心角为_.,45,30,如图，两
10、个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm2。,A,B,C两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长的和为多少?（07年北京）,如图,A、B、C、D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是_.,1.扇形的面积是它所在圆的面积的,求这个扇形的圆心角的度数;(05陕西)2.扇形的面积是S，它的半径是r,求这个扇形的弧长;(05年太原)3.扇形所在圆的圆心角度数为150,L=20cm,求:(1).扇形所在圆的半径;(2).扇形的面积;（05年台州）,中考连接,钟表的轴
11、心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长为_。,如图，从P点引O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知O的半径为2，P60，则图中阴影部分的面积为。,如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R，油面高为 则阴影部分的面积为。（05重庆）,8、如图，在RtABC中，C=900，AC=2，AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则图中阴影部分面积为（05武汉）,A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是O的切线，BC/OA，连结AC，则阴影部分面积等于。,决胜中考,如图，矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？,生活中的数学,思考题,如图，矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？,
