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1、,第八章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论:,1)方程在什么条件下才能确定隐函数.,2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数,两边对 x 求导,在,
2、的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:令,连续,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确
3、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求偏导,同样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,定理
4、3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,公式 目录 上页 下页 返回 结束,故得,系数行列式,同样可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,由题设,故有,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,熟练掌握利用复合函数求导法则直接计算;,代公式,思考与练习,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
