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1、 8.6 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,偏导数反映的是函数在一点沿坐标轴方向的变化率，但在有些问题中需要考虑函数沿其它方向的变化率。,因此在本节引进方向导数的概念来确定函数在一点沿着任一方向的变化率.,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,一、方向导数的定义,（如图）,记为,1.若 z=f(X)=f(x,y)在 P=(x,y)处偏导存在.,则在 点P 处沿 x 轴正向的方向导数,注:,2.若 z=f(X)=f(x,y)在 P=(x,y)处偏导存在.,则在 点P 处沿 x 轴负向的方向导数,同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y(x,y),而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y
2、(x,y).,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,解,推广可得三元函数方向导数的定义,方向余弦,例2.求函数,在点 P(1,1,1)沿向量,的方向导数.,解:向量 l 的方向余弦为,方向导数反映函数在一点沿某一方向的变化率。,而函数在一点有无穷多个方向导数。,二、梯度的概念,结论,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,等高线,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线,等高线,梯度为等高线上的法向量,梯度的几何意义,等量面：曲面 f(x，y，z)c称为函数uf(x，y，z)的等量面 函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等量面 f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,解一,用方向导数计算公式,即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角,在,两边对x 求导,解得,（切线斜率）,故法线斜率为,内法线方向的方向余弦为,的等高线为z=0,解二,用梯度,z=0,z=1/2,故,z=0,z=1/2,
