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1、第三章数 列,3.1 数列的概念与简单表示法,要点梳理1.数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.,一定顺序,基础知识 自主学习,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是、和.4.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与 之间的关系可 以用一个公式 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.,列表法,图象法,解析法,序号n,an=f(n),S1,Sn-Sn-1,an-1,an+1,an-1,an+1,基础自测1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 1，2，3，n）上的函数；数列的项数是
2、有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是（）A.B.C.D.解析 由数列与函数的关系知对，由数 列的分类知不对，数列的通项公式不是惟一 的，不对.,C,2.数列1，的一个通项公式an是（）A.B.C.D.解析 1可以写成，分母为3，5，7，9，即2n+1,分子可以看为13,24,35,46,故 为n(n+2)，即.此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 选项为，B选项为，C选项为，均不为1，故 排除A、B、C，从而选D.,D,3.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a100等于（）A.1B.-
3、1C.5D.-5 解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，4，.由此可得a100=a166+4=a4=-1.方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1，两式相加可得an+3=-an，an+6=an，a100=a166+4=a4=-1.,B,4.若数列an的前n项和Sn=n2-1,则a4等于(）A.7B.8C.9D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.,A,5.数列an中，Sn=9，则n=.解析,99,题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】根据数列的前几项，写出下列各
4、数列的一 个通项公式：（1）-1，7，-13，19，（2）0.8，0.88，0.888，（3）（4）（5）0，1，0，1，,题型分类 深度剖析,思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.解（1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).（2）将数列变形为,(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为,原数列可化为(4)将数列统一为 对于分子3，5，7，9，是序号的2倍
5、加1，可得分子的通项公式为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cn=n2+1因此可得它的一个通项公式为,（1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求.（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,探究提高,知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，（2）（3）（4）3，33，333，3 333，解（1）因为各项是从4
6、开始的偶数，所以an=2n+2.（2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为 21，22，23，24，25，故所求数列的一个通 项公式可写为.,（3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来调整，而后去掉负号，观察可得.将第二项-1写成.分母可化为3,5,7,9,11,13,为正奇数，而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，故其一个通项公式可写为（4）将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，,所以,题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件，确定数列an的通项公式.（1）a1=1，an+1=3an+
7、2；（2）a1=1，an+1=（n+1）an；（3）a1=2，an+1=an+（1）构造等比数列；（2）转化后 利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解.解（1）an+1=3an+2，an+1+1=3（an+1），数列an+1为等比数列，公比q=3,又a1+1=2,an+1=23n-1，an=23n-1-1.,思维启迪,探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；当出现 时，用累乘法求解.,知能迁移2 根据下列各个数列an的首项
8、和基本 关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1(n2);（2）a1=1,an=an-1(n2).解（1）an=an-1+3n-1(n2),an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,a2=a1+31.以上（n-1）个式子相加得 an=a1+31+32+3n-1=1+3+32+3n-1=.,题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】（12分）已知数列an的前n项和Sn满足 an+2SnSn-1=0(n2,n N*),a1=,求an.由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n2)代 入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推 得数列 具有等差数列的特征，
9、进而求得Sn，再得an.,思维启迪,解 当n2,nN*时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，,解题示范,3分,4分,8分,数列的通项an与前n项和Sn的关系是,此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.,探究提高,12分,知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an 的通项公式：（1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b.解（1）a1=S1=2-3=-1，当n2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n）-2(n-1)2-
10、3(n-1)=4n-5，由于a1也适合此等式，an=4n-5.（2）a1=S1=3+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b-1时，a1不适合此等式.当b=-1时，an=23n-1;当b-1时，,题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.（1）令an=0.98,看能否求出正整数n;（2）判断an+1-an的正负.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，n2=0.98n2+0.98.n=7时等式成立，0.98是它的项.,思维启迪,此数列为递增
11、数列.（1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.,探究提高,知能迁移4 已知数列an的前n项和Sn=-n2+24n（nN*）.（1）求an的通项公式；（2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解（1）n=1时，a1=S1=23.n2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证，a1=23符合an=-2n+25,an=-2n+25（nN*）.,（2）方法一 Sn=-n2+24n，n=12时，Sn最大且Sn=144.方法二 an=-2n+25，an=-2n+25
12、0，有n.a120，a130，故S12最大，最大值为144.,方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=,思想方法 感悟提高,3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：（1）算出前几项，再归纳、猜想；（2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出，再化为等比数列；（3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它
13、知识的交汇.,失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.,一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第 100项是（）A.14B.12C.13D.15 解析 易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数
14、字的个数为1+2+3+n=.易得n=13时，最后一项为第91项，n=14共有14个，故第100项为14.,A,定时检测,2.已知数列an中，a1=b(b为任意正数)，an+1=(n=1,2,3,)，能使an=b的n的数值是（）A.14B.15C.16D.17 解析 a1=b,a2=,a3=,a4=b,此数列的周期为3,能使an=b的n的数值满足n=3k-2(kN*).,C,3.在数列an中，a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则 的值是（）A.B.C.D.解析 由已知得a2=1+(-1)2=2,a3a2=a2+(-1)3,a3=,a4=+(-1)4,a4=3,3a5=
15、3+(-1)5,a5=,C,4.已知数列an的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为（）A.91B.152C.218D.279 解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.,B,5.已知数列an满足a1=0,an+1=(nN*)，则a20等于（）A.0 B.C.D.解析 a2=a4=0,数列an是周期为3的一个循环数 列,a20=a36+2=a2=.,B,6.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak 8,则k等于（）A.9B.8C.7D.6 解析 Sn=n2-9n n2时，an=Sn-Sn-1=2n-10 a1=S1=-8适合上式，an=2n-10（nN*）52k-108
16、,得7.5k9.k=8.,B,二、填空题7.已知an的前n项和为Sn，且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=.解析 由已知条件可得Sn+1=2n+1.Sn=2n+1-1，当n=1时，a1=S1=3,当n2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n，n=1时不适合an，an=,3（n=1）2n（n2）,3（n=1）2n（n2）,8.（2008四川文，16）设数列an中，a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=.解析 由an+1-an=n+1可得，an-an-1=n，an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2，a3-a2=3，a2-a1=2，以上n-1个式子左右
17、两边分别相加得，an-a1=2+3+n，an=1+（1+2+3+n）=+1.,9.(2009北京理,14)已知数列an满足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2 009=,a2 014=.解析 a2 009=a4503-3=1,a2 014=a1 007=a2524-1=0.,1,0,三、解答题10.已知数列an的通项an=(n+1)(nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由.解 an+1-an=（n+2）当n9时，an+1-an0,即an+1an；当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an；当n9时，an+1-an0,即an+
18、1an.故a1a2a3a9=a10a11a12,所以数列中有最大项为第9、10项.,11.已知数列an中，an=(nN*,aR,且a0).（1）若a=-7，求数列an中的最大项和最小项的值；（2）若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围.解（1）an=（nN*，aR，且 a0），a=-7,an=(nN*).结合函数f(x)=的单调性.,可知1a1a2a3a4;a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.（2）an=1+对任意的nN*,都有ana6成立，并结合函数f(x)=1+的单调性，5 6,-10a-8.,12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a
19、(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0 x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f(x)0的解集有且只有一个元素，=a2-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0 x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，,当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+）上递增，故不存在0 x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,1(n=1)2n-5(n2).,an=,返回,
