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1、本章优化总结,在三角形的六个元素中，已知三个(除三角外)才能数列的通项公式是数列的重要内容之一，只要存在数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解对于等差数列和等比数列的通项公式的求解可直接使用通项公式求解，而对于非等差、等比数列的通项公式的求解可通过适当的变形、构造等，使之成为等差或等比数列求解因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下：,1观察法就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式的方法根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式(2)2,22,222,2222，；(3)1,0,1,0，.,例1,【解】(1)数列即由于
2、分子是等差数列2n1的各项，分母是数列2n1的各项，(2)所求数列的通项可转化为数列9,99,999,9999，的通项，即数列10n1，易得an(10n1)(nN)(3)奇数项皆为1，偶数项为0.数列的通项公式为,2定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式的方法 已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655，a2a716.求数列an的通项公式,例2,【解】法一：设等差数列an的公差为d，则由题意知d0.由a2a716，得2a17d16.由a3a655，得(a12d)(a15d)55.由得2a1167d，将其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220，d24.又
3、d0，d2，代入得a11.an1(n1)22n1.,d0，a35，a611，a1a32d541.故an2n1.,3利用Sn与an的关系若已知数列的前n项和Sn与n的关系式或Sn与an的关系式，求数列an的通项an可用公式an 求解,设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1，求数列an和bn的通项公式【解】当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，当n1也适用故an的通项公式为an4n2，即an是a12，公差d4的等差数列设bn的公比为q，则b1qdb1，q,例3,4累加法求形如an1anf(n)(f(n)为等差或等比数列或
4、其他可求和的数列)的数列通项，可用累加法求通项，即令n1,2,3，n1得到n1个式子累加求得通项累加法是反复利用递推关系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n项的和，要注意求和的技巧,已知数列an中，a11，对任意自然数n都有anan1 求an.,例4,5累乘法若数列an能写成anan1f(n)(n2)的形式，则可由anan1f(n)，an1an2f(n1)，an2an3f(n2)，a2a1f(2)连乘求得通项公式累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的积，要注意求积的技巧,例5,数列的求和是数列运算中的重要内容，对于
5、等差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差数列或等比数列的形式，再求其前n项和常用的求和方法有公式法、分组法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研究数列通项的特点，从而确定恰当的求和方法,(2009年高考陕西卷)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，求证：bn是等比数列；(2)求an的通项公式,例6,数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.,例7,(2)Tna12a23a3nan，当n1时，T11；当n2时，Tn14306312
6、n3n2.3Tn34316322n3n1.,等差数列，等比数列的有关性质在解决数列问题时，应用非常广泛，且十分灵活善于发现题目中隐含的相关性质，能使运算简单、快捷高考非常看好这个既能考查重要知识，又能考查能力的命题素材因此熟练掌握等差、等比数列的性质并能灵活地用它们解题，显得非常重要等差(比)数列的性质：,(1)等差(比)数列an的每一个“片段”ak，ak1，ak2，akm仍然是等差(比)数列；(2)等差(比)数列中，每隔相等的“距离”取一项出来组成的新数列仍然是等差(比)数列,(3)在等差(比)数列an中，如果mnpq，那么amanapaq(amanapaq)(4)在等差(比)数列an中，S
7、n，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，也成等差(比)数列(成等比数列时，各项不为零),数列an共七项，其中a1，a3，a5，a7成等差数列，其和为S；a2，a4，a6成等比数列，若Sa2a642，a1a4a725，求a4.,例8,【解】法一：Sa1a3a5a7.a1a7a3a5，2(a1a7)S.又a1a4a725，a425(a1a7)25.a2，a4，a6成等比数列，,S46或S58，a42或a44.检验知a42或a44不合题意，故a42或a44.,解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列的类型：(1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关
8、的数列，等等)应首先建立数列的通项公式,(2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an1的关系)(3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”,从5月1日开始，联合国救援组织向遭遇海啸的难民运送食品，第一天运送1000吨，以后每天增加100吨，日运送食品达到最大量后，逐日递减100吨，使全月运送总量为59300吨，则在哪一天达到运送食品的最大量，最大量是多少？,例9,【解】设5月k日运送食品达到最大值(1k31)则由题意得5月1日到5月k日每天运送量构成一个以1000为首项，100为公差的等差数列an，,设5月(k1)日至5月31日每日运送量依次组成另一个等差数列bn，其首项为b1ak1001000(k1)100100100k800，公差为d100，项数为31k，S31k(31k)(100k800)(31k)(30k)(100)150k25350k21700.,由SkS31k59300，得k263k8100.解得k18或k45(舍去)当k18时，ak1000(181)1002700(吨)在5月18日达到运送食品的最大量，最大量为2700吨,
