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1、,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,两随机变量独立的定义是：,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：,若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：,解：,x0,即：,对一切x,y,均有：故X,Y 独立,y 0,解：,0 x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立.,例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在
2、12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？,解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45),YU(0,60),所求为P(|X-Y|5)及P(XY),甲先到的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率,解一：,P(|X-Y|5),=P(-5 X-Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),解二：,P(X Y),=1/6,=1/2,被积函数为常数，直接求面积,=P(X Y),P(|X-Y|5),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每
3、艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.,把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率.,随机变量独立性的概念不难推广到两个以上r.v的情形.（见教材）,定理1 若连续型随机向量（X1,Xn）的概率密度函数f(x1,xn)可表示为n个函数g1,gn之积，其中gi只依赖于xi，即 f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)则X1,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.,最后我们给出有关独立性的两个结果：,定理2 若X1,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则Y1与Y2独立.,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握.,如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分布外，有必要引入条件分布的概念，这将在下一讲介绍.,
