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1、3.2 二阶系统的瞬态响应 一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。一、二阶系统标准形式,令：则 二阶系统标准式:无阻尼自然振荡频率；阻尼比 二阶系统的特征方程为：系统的两个特征根（闭环极点）为 特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。,特征根的s平面的分布情况见图1欠阻尼情况:则二阶系统具有一对共轭复根：式中：称为阻尼振荡频率,特征根为：,特征根为：共扼复数 相等实数 不等实数 共扼虚数,输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：式中：欠阻尼二阶系统的单位
2、阶跃响应为一条衰减振荡曲线，包含在一对包络线 之内。振荡频率为。,越小，系统振荡越厉害，一般取0.50.8之间。,一条幅值按指数衰减的阻尼振荡曲线,2临界阻尼情况（）由 可知，此时系统有两个相等的实根 对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为 响应曲线：,一条单调上升的指数曲线,3过阻尼情况（）此时系统有两个不相等的负实根 对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为 将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：式中,也是一条单调上升的指数曲线,响应速度比临界阻尼缓慢,4无阻尼情况 此时系统有一对共扼虚根 这是一条等幅振荡曲线。,重点,控制系统的动态特性一动态性能指标通常以系统单位阶跃输入时的
3、响应来定义时域性能指标。,1上升时间：阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需 的时间。（若无超调量，取稳态值1090）,2峰值时间：阶跃响应曲线第一次出现峰值的时间。,3超调量：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比的百分数。下式中，为输出响应的最大值；为稳态值。,4调整时间（又称过渡过程时间）：响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值内（又叫误差带）所需要的时间。一般取2%或5%。,二、二阶系统的动态响应性能指标（1）峰值时间因为整理得：为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取 因为，得到 与极点虚部成反比,一定时,极点离实轴越远,越短。,（2）最大超调量 因为最大超调量发生在峰值时间上
4、，所以将 代入 得 表明:二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关,越大,越小。,（3）调整时间 ts 欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。（）求得当 时，忽略（）()表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于 由 决定，若 不变，加大 的数值，则可在不影响系统 的情况下，加快系统的响应速度。,（4）上升时间根据定义因为:必有：所以:其中 上式表明：在 一定的情况下，无阻尼自然振荡频率 越大，系统的响应就越迅速。,3.2 二阶系统的瞬态响应,小结阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大 阻尼比大：上升时间长希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程 上阻尼比一般取0.40.8。阻
5、尼比为0.707称 为最佳阻尼比.,例3-2 P67,例题 3-3 P97,通常把三阶以上的系统就称为高阶系统。一般近似为一个二阶系统来处理。设 控制系统的闭环传递函数为阶跃响应,3.3 高阶系统的瞬态响应,高阶系统阶跃响应曲线1.高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环节合成。2.响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。3.闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。4.偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点，对系统的影响很小。5.主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环主导极点。,例：三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点：系统单位阶跃响应：实极点 P3的实部和P1、P2的实部之比：所以P1、P2为一对主导极点。如果忽略P3 对应的动态分量，两该系统的解相近：,
