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1、第一章,函数与极限,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x 所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭
2、区间,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,绝对值不等式的两个变形公式：,二、映射,1.映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,定义4.,设 X,Y 是两个
3、非空集合,若存在一个对应规,则 f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.,集合 X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的 值域.,注意:,1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.,2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.,对映射,若,则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2,3,引例2,引例2,X(数集 或点集),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,
4、X(),Y(数集),f 称为X 上的泛函,X(),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子.,名称.例如,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射.,(2)复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映射,时,或,注意:构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,二、函数概念,定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于x D，变量y按照
5、确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称y是x的函数,记作,自变量,因变量,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,定义:,几个特殊的函数举例,(1)符号函数,(2)取整函数 y=xx表示不超过 x 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,(5)绝对值函数,定义域 R,值域,三、函数的特性,1函数的有界性:,有界,无界,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4 周期性,且,则称,为
6、周期函数,若,称 l 为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,四.反函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数.,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,2.函数的定义及函数的二要素,4.反函数,思考题,
