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1、1,一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,2,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0,一、有界性与最大值最小值定理,3,函数y=sgn x 在区间(-+)内有最大值1和最小值-1 但在开区间(0+)内 它的最大值和最小值都是1,最大值与最小值举例:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(
2、x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),4,并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),5,说明:,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点x2a b 使f(x2)是f
3、(x)在a b上的最小值,至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么,6,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,7,又如 如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定
4、理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,8,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,9,注:如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少
5、存在一点x 使f(x)=0,二、零点定理与介值定理,10,例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,11,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间
6、a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,12,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,13,作 业 习题1.3(P60):13.16.18.,
