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1、四、闭区间上连续函数性质的讨论1 .若/(X)在向上连续，且fa)b,证明在,句内至少存在一点多使得FC)=：证欲证/)=久即证x)-X以J为零点，设Fa)=(x)-x,显然F(X)在,句上连续，又/(Q)=/3)-。0,跟据介值定理的推论，至少存在一席(,b),使得F()=O3P()=2 .即(X)在0,2口上连续，且f(0)=(2L),证明方程f(x)=(x+L)在0,内至少有一个根.证构造辅助函数F(X)=F(X+L)-f(X),它在0,L上连续，KF(O)=/()-/(0),F(L)=f(2L)-/(L).V/(0)=f(2L),若八L)=/(0)期(2L)=/(I)JJx=0曲二L即
2、为方程的根，若不然，尸(O),77(L)必异号，由连续函数介值定理的推论知，至少存在一个g(0,L),使尸G)=o,BP(0,存在X0,当|刈X时，(x)-AX时,(x)-Al,即A-lf(x)A+./(幻在,+8)上连续/(幻在-X”XJ上有最大、小值，即存在“也使(x)b.取/n=minA-1,M=maxA+1,Z?),则Xa,+)时，机f(x)f,BPf(x)有界.4 .设函数f(x)在m,。上连续，且T。一时函知(X)的极限存在，则函数f(x)在3,句上有界.证设Iim/()=A则对于=1，存在正数3使当0x-v6时，有xat|/。)一川,也就也一1:/(外,试证在3力上至少有一个C,使(c)=0.证明由于/()/S)=ft(a)f(h)0故不妨即()0ES)0f：(a)=Iim/()一f()=Iim生0(1)a。+X-ax-a/：(/?)=Iim/二=Iim0(2)SaX-aix-a由函数极限保号性知对于式葡(项)0对于式有)0故由零点存在定理知，至少存在一点cG,X2)u(,M(c)=0.
