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1、第三讲 解析函数的充要条件初等函数,1.解析函数的充要条件 2.举例,2.2 解析函数的充要条件,如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域 D内处处可导，则函数 w=f(z)在 D内解析。,本节从函数 u(x,y)及 v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题 如何判断函数的解析性呢？,一.解析函数的充要条件,记忆,定理1 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D 内有定义，则 f(z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)可微，且满足
2、 Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,证明（由f(z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导 函数 u(x,y)、v(x,y)可微）。,函数 w=f(z)点 z可导，即,则 f(z+z)-f(z)=f(z)z+(z)z(1),且,u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y),令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，(z)=1+i2 故（1）式可写为,因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y,所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.,（由
3、函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f(z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,定理2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是 u(x,y)和 v(x,y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,使用时:i)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.,iii)求导数：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但
4、是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,二.举例,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解(1)设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则,解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则 u=excosy,v=exsiny,仅在点z=0处满足C-R条件，故,解(3)设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则,例2 求证函数,证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：,故函数w=f(z)在z0处解析，其导数为,例3,证明,例4 如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，且f(
5、z)0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.,那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程 ux=vy,uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.,ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，k2=0（由C-R方程）,即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。,练习:,a=2,b=-1,c=-1,d=2,1.指数函数 2.三角函数和双曲函数 3.对数函数
6、 4.乘幂与幂函数 5.反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。,内 容 简 介,一.指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的。,例1,例2,例3,二.三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三.对数函数,(1)对数的定义,故,特别,(2)对数函数的性质,见1-6例1,例4,四.乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,q支,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。,(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。,解,例5,幂函数zb,当b=n(正整数),w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。,作 业,P67 2,8,15,18,
