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1、3.1.3 导数的几何意义,1.导数的概念,定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,2.导数的几何意义:,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限
2、接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。,割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.,曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切
3、线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.,练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,归纳:求切线方程的步骤,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,例3在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.分析解此类题的步骤为：先设切点坐标(x0，y0
4、)；求导函数f(x)；求切线的斜率f(x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标,点评此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标,作业:,一、选择题1曲线y2x21在点(0,1)处的切线的斜率是()A4 B0 C4 D不存在答案B,2曲线yx3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A(-2，-8)B(1,1)，(-1，-1)答案B,答案B,二、填空题4抛物线y2x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有_是它的切线，而_不是它的切线答案y轴x轴解析如图所示，可知y轴是它的切线，
5、而x轴不是它的切线,答案k解析由导数的几何意义知，曲线yf(x)在x0处的切线斜率即为函数yf(x)在xx0时的导数,三、解答题6求曲线yx2在x1处的切线方程解析由yx2得y(xx)2x22xx(x)2，即f(x)2x，所以f(1)212.曲线yx2在x1处切线的斜率为2，又x1时，yx21，切线方程为y12(x1)，即2xy10.,例4已知曲线C：y3x42x39x24，(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点？分析(1)关键是求出切线斜率kf(1)及切点坐标；(2)将(1)中的切线方程与曲线C联立，根据方程组的解的情况判断,12x36x218x.切线的斜率为k1261812.切线方程为y412(x1)，即y12x8.,点评此例说明：曲线与直线相切并不只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确,求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积,
