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1、1.1.3导数的几何意义,复习,1、什么叫导数？,2.如何表示在某一点x0处的导数？,平均变换率的几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,3.由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是:,回顾,P,相切,相交,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可
2、以无穷多个.,切线,能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。,不能,直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。,所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。,直线与圆锥曲线有惟一公共点时，直线叫做圆锥曲线的切线。,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,函数 y=
3、f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是.,故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是:,导数的几何意义,例1求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率。,解：过点(1，1)的切线斜率是,f(1)=,因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2.,导数的几何意义的应用,例2:,求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,导数的几何意义的应用,例3求双曲线y=过点(2，)的切线方程。,解：因为,所以这条双曲线过点(2，)的切线斜率为，,由直线方程的点斜式，
4、得切线方程为,例4求抛物线y=x2过点(，6)的切线方程。,解：点(，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为,k=,k=6，或k=4.,过点（，6）的切线方程为,y-6=6(x-)，或y-6=4(x-).,即所求切线方程为 y=6x-9，或y=4x-6.,例5y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.,解：设点P的坐标(x0，x03),斜率3=,3x02=3，x0=1.,P点的坐标是(1，1)或(1，1).,求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,课堂练习：,1
5、曲线y=x2在x=0处的（）A切线斜率为1 B切线方程为y=2x C没有切线 D切线方程为y=0,D,2已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为（）A4 B16 C8 D2,C,3函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是（）A在点x=x0处的函数值 B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 D点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率,C,5已知曲线y=x3上过点(2，8)的切线方程为12xay16=0，则实数a的值为（）A1 B1 C2 D2,B,6若f(x0)=3，则（）A3 B6
6、C9 D12,D,7设y=f(x)为可导函数，且满足条件,则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为（）A2 B1 C D2,D,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,h,t,o,结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。,例3如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（mi
7、n）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1),课堂小结：,1.导数的几何意义:f(x0)表示在点x0处切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2.求某点处切线的方法:(1)先求斜率k=f(x0)(2)再用点斜式得到切线方程,注意：利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点,（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,
