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1、第5章 点的一般运动与刚体的基本运动,5.1 描述点运动的矢量法 5.2 描述点运动的直角坐标法 5.3 描述点运动的自然坐标法5.4 刚体的平行移动 5.5 刚体的定轴转动,5.1 描述点运动的矢量法,描述点的运动,是指确定点在参考系中每一时刻的位置、速度、加速度以及点在空间中的运动轨迹等。,5.1.1 运动方程,5.1 描述点运动的矢量法,一、位矢（点M相对于原点O的位置矢量）,二、点运动方程的矢量式,随着时间变化，变矢量r的端点在空间画出一条曲线，称为r的矢量端图，也是点M的运动轨迹。,5.1 描述点运动的矢量法,5.1.2 速度与加速度,一、平均速度,瞬时速度,5.1 描述点运动的矢量
2、法,二、瞬时加速度,加速度是矢量，其方向沿速度矢量端图的切线方向(图5-1b)，单位为 m/s2。,速度是矢量，其方向沿r矢量端图（轨迹曲线）的切线方向，单位为m/s。,5.2 描述点运动的直角坐标法,5.2.1 运动方程,一、位矢（点M相对于原点O的位置矢量）,二、点运动方程的直角坐标表达式,5.2 描述点运动的直角坐标法,上式也是点轨迹的参数方程。由上式中消去参数t，便得到点的轨迹方程。,若点在xy平面内运动，参数方程可退化为：,5.2.2 速度与加速度,一、速度,5.2 描述点运动的直角坐标法,速度矢量沿直角坐标轴的分量,，,，,速度的大小,速度的方向余弦为,，,，,二、加速度,5.2
3、描述点运动的直角坐标法,加速度矢量沿直角坐标轴的分量,，,，,由此可得出加速度的大小,加速度的方向余弦为,，,，,例5-1 椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图5-2所示。已知：OC=AC=BC=l，MC=a，。试求规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。,5.2 描述点运动的直角坐标法,解 建立直角坐标系Oxy如图5-2所示，M点的运动方程为,解 建立直角坐标系Oxy如图5-2所示，M点的运动方程为,5.2 描述点运动的直角坐标法,消去t后，得轨迹方程：,由此可见，M点的运动轨迹是一个以(l+a)为长轴、
4、(l-a)为短轴的椭圆。,为求M点的速度，应先求它沿坐标轴的投影,5.2 描述点运动的直角坐标法,故M点速度的大小为,其方向余弦为,5.2 描述点运动的直角坐标法,为求M点的加速度，先求它沿坐标轴的投影,故M点的加速度大小为,其方向余弦为,5.3 描述点运动的自然坐标法,5.3.1 自然坐标系,一、弧坐标,若已知动点M的运动轨迹，可在轨迹曲线上选定一坐标原点O，规定沿曲线某一方向为正，将弧长OM冠以适当的正负号称为动点M的弧坐标s(图5-3)。,5.3 描述点运动的自然坐标法,二、曲率和曲率半径,曲率的倒数称为曲率半径，M点处的曲率半径为,定义曲线在M点处的曲率为,圆的曲率半径就是圆的半径。直
5、线的曲率为0，曲率半径。,5.3 描述点运动的自然坐标法,三、自然坐标系,法平面与切线垂直的平面。,主法线密切面与法平面的交线。其单位矢量用n表示。,副法线法平面内垂直于密切面的法线。其单位矢量用b表示。,自然坐标系由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。,自然坐标系随点的位置不同而改变。,密切面令点 无限趋近于点 M 时，由和 所确定的极限平面。,5.3 描述点运动的自然坐标法,一、点在弧坐标中的运动方程,5.3.2 运动方程、速度与加速度,运动方程也可用点的位矢表示为,5.3 描述点运动的自然坐标法,位矢r随弧长s的变化率,矢量的大小为1，方向沿曲线切线，指向弧坐标s增加的方向。所以，为
6、切向单位矢量。,5.3 描述点运动的自然坐标法,切向单位矢量随弧长s的变化率,于是得,5.3 描述点运动的自然坐标法,二、点的速度,点的速度可以表示为,因为,，,所以，点的速度在自然坐标系中可以表示为,其中v为速度的大小，为点M处沿切线方向的单位矢量。即点的速度方向沿轨迹曲线的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。,5.3 描述点运动的自然坐标法,三、点的加速度,点的加速度可以表示为,将加速度分解，则a也可表示为,由此得,，,，,at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；an称为法向加速度，反映速度方向的变化率。,5.3 描述点运动的自然坐标法,at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；
7、an称为法向加速度，反映速度方向的变化率。,加速度a的大小为,其方向与主法线之间的夹角为,5.3 描述点运动的自然坐标法,几种特殊运动,（1）直线运动,，,（2）匀速曲线运动,（3）匀变速曲线运动,常量,5.3 描述点运动的自然坐标法,例5-2 在图5-8所示的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动，=t。当运动开始时，摇杆在水平位置。求：（1）滑块相对于BC弧的速度、加速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。,5.3 描述点运动的自然坐标法,解（1)求滑块M相对于圆弧BC的速度和加速度,建
8、立图示直角坐标系Oxy，动点M的坐标为,直角坐标法求解。,从上述两式消去t，得轨迹方程,5.3 描述点运动的自然坐标法,滑块M的速度在坐标轴上的投影和大小分别为,其方向余弦为,5.3 描述点运动的自然坐标法,滑块M的加速度在坐标轴上的投影和大小分别为,其方向余弦为,5.3 描述点运动的自然坐标法,自然坐标法求解。,以M点的起始位置O为原点，逆时针方向为正。,滑块M的运动方程为,速度大小为,滑块M的加速度为,，,，,方向如图。,5.3 描述点运动的自然坐标法,（2)再求滑块M相对于摇杆的速度和加速度,将动参考系Ox固定在杆OA上。此时，滑块M在杆OA上作直线运动，相对轨迹是已知的直线。,M点的相
9、对运动方程、相对速度和相对加速度分别为,速度与加速度的方向均沿OA方向。,5.4 刚体的平行移动,如果在运动过程中，刚体上任一直线的方向始终与它原来的方向平行，则称刚体作平行移动，简称平移。,车厢,振动筛,5.4 刚体的平行移动,1、刚体平移时，刚体内各点的轨迹形状都相同。,2、刚体平移时，刚体内各点的速度和加速度都相同。,因为平移时,于是，得,研究刚体的平行移动问题，归结为研究其上任一点的运动问题。,5.4 刚体的平行移动,例5-3 荡木用两条等长的钢索平行吊起，钢索长为l，如图5-11所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为。试求荡木中点M的速度和加速度。,解 荡木作平行移动。荡木中点M的运动
10、轨迹是圆周，且其速度和加速度均与点A的速度和加速度相等。,（1）运动方程,以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A（同时也是点M）的运动方程为：,5.4 刚体的平行移动,（1）运动方程,（2）速度和加速度,上式即为点M的速度和加速度。,以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A（同时也是点M）的运动方程为：,5.5 刚体的定轴转动,如果在运动的刚体上（或其扩展部分）有一根直线始终保持不动，则称刚体作定轴转动。这根不动的直线称为轴线或转轴。,定轴转动方程 角速度和角加速度,刚体定轴转动的运动方程为,其中，为描述截面位置的角坐标(角的大小并冠以正负号，正负号由右手定则确定)。,刚体定轴转
11、动的运动方程为,5.5 刚体的定轴转动,描述定轴转动方向及快慢的量称为角速度，用表示,单位为rad/s。,也可用每分钟的转数n来表示角速度，其单位为r/min,描述角速度变化方向及快慢的量为角加速度，用表示,单位为rad/s2。,5.5 刚体的定轴转动,下面介绍几种特殊转动,（1）匀速转动,常量,（2）匀变速转动,常量,5.5.2 定轴转动时，刚体内任意点的速度与加速度,5.5 刚体的定轴转动,刚体内任一点M作圆周运动，其在自然坐标系下的运动方程为：,1.速度,5.5 刚体的定轴转动,1.速度,2.加速度,全加速度的大小为,其方向与所在点法向（R方向）的夹角为,，,5.5 刚体的定轴转动,刚体
12、转动时，同一时刻刚体上各点速度与加速度的分布情况如下：,在垂直于转轴的截面上，同一半径上各点的速度呈直角三角形分布，而加速度呈锐角三角形分布。,5.5 刚体的定轴转动,例5-4一半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为，其中 的单位为rad，t的单位为s。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度vM和加速度aM。如在轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度vA和加速度aA。,解（1）圆轮在任一时刻的角速度和角加速度为,当t=1s时，角速度和角加速度为,5.5 刚体的定轴转动,（2）点M的速度和加速度,t=1s时点M的速度为,沿圆周切向。切向和法向加速度为,加速
13、度的大小为,其方向角为,5.5 刚体的定轴转动,（3）物体A的速度和加速度,点M的弧长与物体A下降的距离相等，即,所以有,物体A加速度的大小为,负号表示方向向上。,方向向下。,5.5 刚体的定轴转动,例5-5 在图5-16a中，平行四连杆机构在图示平面内运动。O1A=O2B=0.2m，O1O2=AB=0.6m，AM=0.2m。如O1A按=15t的规律转动，其中以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度和加速度。,解 O1A为定轴转动，AB杆为平移。根据平移的特点，在同一时刻，M点与A点具有相同的速度和加速度，且M点亦作圆周运动。,5.5 刚体的定轴转动,M点也作圆周运动，其运动规律为
14、,其速度大小为,其切向和法向加速度的大小分别为,t=0.8s时，=12，杆AB正好第六次回到起始的水平位置，vM和aM的方向如图5-16b所示。,，,5.5.3 轮系的传动比,5.5 刚体的定轴转动,1.齿轮传动,由于传动时两齿轮之间只有相对滚动而无相对滑动，故两接触点处的线速度和切向加速度大小相等，方向相同。,vM1=vM2,由于,定义两齿轮的传动比为：,5.5 刚体的定轴转动,2.皮带轮和链轮传动,皮带轮传动的特点是：假设皮带不可伸长，皮带与皮带轮之间无相对滑动；皮带或链条上各点的速度v和切向加速度at都相同。,定义两齿轮的传动比为：,5.5 刚体的定轴转动,例5-6 图5-19为一减速器
15、，轴为主动轴，与电动机相联。已知电动机转速n=1450 r/min，各齿轮的齿数z1=14，z2=42，z3=20，z4=36。求减速器的总传动比i13及轴III的转速。,解 各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题。,轴I与II的传动比为,轴II与III的传动比为,5.5 刚体的定轴转动,从轴I至轴III的总传动比为,代入已知数据，得总传动比为,轴III的转速为,其转向如图所示。,5.5 刚体的定轴转动,5.5.4 角速度和角加速度的矢量表示,1.角速度和角加速度的矢量表示；,定义定轴转动刚体角速度矢量的作用线沿其转轴，大小为，指向由右手定则确定。,定义定轴转动刚体的角加速度矢量，其大小为，作用线沿转轴，指向由右手定则确定。,5.5 刚体的定轴转动,2.点的速度和加速度的矢积表示,定轴转动刚体上任一点M的速度v可以表示为,v=r,定轴转动刚体上任一点M的加速度可以表示为,a=r+v=r+(r),等式右侧第一项为切向加速度at，第二项指向转动轴，为法向加速度an。故有,
