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1、11.2 常数项级数的审敛法,正项级数及其审敛法,交错级数,绝对收敛与条件收敛,小结,定义,为正项级数.,收敛的充要条件,单调增加数列,一、正项级数及其审敛法,若,的一般项,则称,当级数为正项级数，则：,这时,只可能有两种情形:,定理1(基本定理),正项级数收敛,有界.,正项级数可以任意加括号,其敛散性,对收敛的正项级数,其和也不变.,不变,例 判定 的敛散性.,解,由定理1知,故级数的部分和,该正项级数收敛.,由于,另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.,启示:,判定一个正项级数的敛散性,可与,比较审敛法,证,定理2,即部分和数列有界.,则,收敛,收敛,发散,发散,收敛.,不是有界数列,用比
2、较审敛法，,须有参考级数.,发散,发散,发散,推论1,(发散),收敛,收敛.,(发散),现证,解,(1),用比较审敛法,发散.,例,讨论,的收敛性.,(2),收敛,故,(1)几何级数,常用的比较级数,(2)p-级数,(3)调和级数,发散,推论2,定理2,则,收敛,收敛,发散,发散,例 讨论正项级数 的敛散性.,解：,而等比级数 收敛.,所以原级数收敛.,由比较审敛法，,解,因为,而,是发散的p-级数,所以,原级数,发散.,由比较审敛法，,例 讨论正项级数 的敛散性,(比较审敛法的极限形式),定理3,两级数有相同的敛散性;,证,由比较审敛法的推论,得证.,比较审敛法的极限形式(2),推论,由比较审敛法可推出如下快速的审敛法,当分母,分子关于n的最高次数分别为,级数,收敛;,级数,发散.,例,发散.,因为,而,发散.,例,收敛.,解,收敛,发散,例 判定级数 的敛散性.,极限形式知,例 判定级数 的敛散性.,解,解,而级数,收敛,例,使用比较审敛法或比较审敛法的极限,形式必须找到适当的比较级数.,由(1)式的,左边相加,的各项,右边,证,(1),小于右边相加收敛的等比级数,发散,由(1)式的,比值审敛法失效.,左边,收敛.,的对应项,
