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1、高中数学人教版必修4,正弦函数的图象与性质主讲者:王老师,1.正弦函数的精确定义2.正弦函数的图像3.正弦函数的性质4.正弦函数图像的左右上下平移及其推广5.正弦型函数与正弦函数的坐标变换,本次讲课内容,回顾前面学过的三角函数定义,称为正弦函数,如果取,将会得到正弦函数的精确定义。如图所示的坐标系,这是一个单位圆,我们把规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段MP的数量记为MP.,P,M,A(1,0),如果MP的方向和y轴方向一致，MP为正，如果MP的方向和y轴方向相反，MP为负。那么有向线段MP的数量与sin有什么关系？MP的符号和点P的纵坐标的符号相同，即 sin=y=MP.我们知道幂函数、
2、指数函数、对数函数，他们都是精确定义。,用x代替，正弦符号后面的角x采用弧度制，这就和函数值实数十进制是一致的。通过角终边的旋转可知，自变量的取值范围是全体实数，再从正弦线的大小可知，函数值的取值范围是-1，1。,1.正弦函数的精确定义,2.正弦函数的图象,正弦曲线,(2,0),(,-1),(,0),(,1),正弦函数的图象,1)图象作法-,五点法,2)正弦曲线,(0,0),3.正弦函数的性质,观察图像，y=sin x的定义域：Ry=sin x 的值域为-1,1。那么正弦函数还有哪些性质呢？,观察正弦曲线，每隔2个单位长度，其图像有什么变化？从三角函数诱导公式也可得出，对于任意一个角x，都有特
3、别的，当k=1时，有若记,则对任意,周期性的定义,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有,f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.,由此可知，正弦函数y=sin x 是周期函数，且 以及都是正弦函数周期。思考：一个周期函数的周期有多少个？一般地，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.如无特殊说明，我们指的周期就是最小正周期。,正弦函数的性质,结论：正弦函数是奇函数。,奇偶性,一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)，
4、那么就说f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么就说f(x)是奇函数,（1）观察正弦函数图象是否关于原点对称？（2）正弦函数在长度为 的区间内具有怎样的单调性？,(2,0),(,-1),(,0),(,1),(0,0),正弦函数的对称轴方程是,4.正弦函数图像的左右上下平移及其推广 观察 图像,结论：的图象，可以看作是把正弦曲线上的所有的点向左（）或向右（）平行移动 个单位长度而得到.,?,推广到其他函数上去,如一些复合的二次函数、指数函数、对数函数等，只要画出基本函数图像，把基本函数图像平移就可以得到新的函数图像。,二次函数的左右平移,指数函数
5、的左右平移,对数函数的左右平移,再画出以下函数图像，观察图像可总结上下平移规律。,函数的上下平移规律,画出函数y=1+sin x，x0,2的简图：,0 2,0,1,0,-1,0,1 2 1 0 1,o,1,-1,2,y=sinx，x0,2,y=1+sinx，x0,2,步骤：1.列表2.描点3.连线,正弦函数的上下平移,二次函数的上下平移,指数函数的上下平移,对数函数的上下平移,观察下列正弦型函数,是由正弦曲线怎样得到的?先平移再缩小或扩大横坐标,或先伸缩横坐标再平移都可以.,5.正弦型函数与正弦函数的坐标变换,(1)和(2)的函数图像,(3)的函数图像和正弦函数图像,横坐标为,的点的纵坐标，,的点的纵坐标相等。,同正弦曲线上横坐标为,因此，,可以看作把正弦曲线上所有点的,横坐标缩短到原来的,倍，纵坐标不变而得到的。,类似地，,可以看作把正弦曲线上所有,倍，纵坐标不变而得到的。,小结：,当1时，,纵坐标不变,当1时，,横坐标伸长到原来的 倍,横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,练习：,A,D,3画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图并总结由正弦曲线怎样得到.,解：,
