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1、2023/10/3,1,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,2023/10/3,2,1 矩阵的初等变换,引例 求解线性方程组,2023/10/3,3,用消元法,2023/10/3,4,2023/10/3,5,令,代入方程组，得解,2023/10/3,6,消元法的三类变换：,（1）对调二个方程的次序；,（2）以非零的数 k 乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍,由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的,2023/10/3,7,定义1：,下面三类变换称为矩阵的初等行变换:,同样可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”),初等行变换和初等列变换统称初等变换。,202
2、3/10/3,8,三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。,2023/10/3,9,若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与B 等价，记作 A B.,矩阵的等价关系满足：,反身性 A A；对称性 若A B，则B A；传递性 若A B，B C，则A C。,2023/10/3,10,(1)的增广矩阵,线性方程组,2023/10/3,11,2023/10/3,12,行阶梯形,2023/10/3,13,行最简形,令,2023/10/3,14,等价标准形,2023/10/3,15,任一 mn 矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵,称为A的等价标准形。,2023/10/3,16,2
3、 初等矩阵,定义2：,由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。,三类初等变换与三类初等方阵相对应,2023/10/3,17,2023/10/3,18,2023/10/3,19,2023/10/3,20,三类初等矩阵：,其中,2023/10/3,21,三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。,2023/10/3,22,定理1：,设 A 为mn 矩阵，则,2023/10/3,23,2023/10/3,24,方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。,定理2：,证明：,充分性.,必要性.,2023/10/3,25,方阵 A可逆的充要条件是 A E,推
4、论1：,推论2：,mn阵 A与 B等价的充要条件是存在 m阶可逆阵 P和 n阶可逆阵 Q，使得 PAQ=B,注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。,2023/10/3,26,例.,2023/10/3,27,即,2023/10/3,28,解：,例：,2023/10/3,29,2023/10/3,30,2023/10/3,31,例：,解：,初等行变换,2023/10/3,32,2023/10/3,33,2023/10/3,34,3 矩阵的秩,定义3：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，称为 A的一个 k 阶子式。,A的一个2阶子式：,2
5、023/10/3,35,定义4：矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩，记作 R(A)。,例4.求矩阵A 和B 的秩,其中,2023/10/3,36,2 阶子式,3 阶子式|A|=0,3 阶子式,4 阶子式都=0,R(A)=2,R(B)=3,2023/10/3,37,定理 3 若A B,则 R(A)=R(B).,事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零,则 B的 k 阶子式也全等于零。,2023/10/3,38,性质 1.若A的所有 r 阶子式(如果有)全等于零，则阶数大于r 的所有子式全等于零。,若A的所有 k 阶子式全等于零,则 R(A)k,2.若A有一个
6、 k 阶子式非零,则 R(A)k,3.若A为mn矩阵,则 0 R(A)minm,n,4.,2023/10/3,39,5.R(PAQ)R(A),其中P,Q为可逆矩阵。,6.,7.,8.,2023/10/3,40,故,2023/10/3,41,注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。将 C1看成一个 n 阶矩阵划去了n-r1行,n-r2列，于是有,2023/10/3,42,3 线性方程组的解,2023/10/3,43,化为行最简形矩阵,不妨假定,2023/10/3,44,(#),2023/10/3,45,(1)若，则(#)无解。,2023/10/3,46,非齐次性线性方程组解的条件,
7、2023/10/3,47,例10：求解线性方程组,解：,2023/10/3,48,可知方程组无解。,2023/10/3,49,例11：求解线性方程组,解：,2023/10/3,50,2023/10/3,51,得,令,故,2023/10/3,52,2023/10/3,53,齐次性线性方程组解的条件,定理6：齐次线性方程组 有非零解的,充要条件是,2023/10/3,54,例9：求解齐次线性方程组,解：,2023/10/3,55,2023/10/3,56,2023/10/3,57,矩阵方程有解的条件,定理6：矩阵方程,有解的充要条件是,2023/10/3,58,定理9：矩阵方程,有非零解,充要条件是,有非零解的,有非零解,2023/10/3,59,线性代数答疑辅导时间:每周二 12:20到13:20地点:(数学系)致远楼102室,
