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1、1,第四章 计算机控制系统的特性分析,4.0 概述4.1 计算机控制系统的稳定性4.2 计算机控制系统的动态特性4.3 计算机控制系统的稳态误差4.4 离散系统的根轨迹和频率特性,2,计算机控制系统要想正常工作，首先要满足稳定性条件，其次还要满足动态性能指标和稳态性能指标，这样才能在实际生产中应用。对计算机控制系统的稳定性、动态特性和稳态误差进行分析是研究计算机控制系统必不可少的过程。,3,1.线性离散控制系统的稳定性条件 s域到z域映射关系 线性离散控制系统稳定的充要条件2.线性离散控制系统的稳定性判据 修正劳斯-胡尔维兹稳定判据 二次特征方程稳定性的z域直接判定法 朱利判据 修尔科恩稳定判
2、据,4.1 计算机控制系统的稳定性,4,分析或设计一个控制系统，稳定性历来是一个首要问题。对于连续系统和离散系统，所谓稳定，就是指在有界输入作用下，系统的输出也是有界的。如果一个线性定常系统是稳定的，那么其对应的微分方程的解必须是收敛和有界的。在分析连续系统的稳定性时，主要根据是系统传递函数的极点是否都在 S 平面的左半部分布。若有极点出现在平面的右半部，则系统不稳定。,1.线性离散控制系统的稳定性条件,5,s 域到 z 域的映射关系,6,s 平面的左半部对应于z 平面的单位圆内s 平面的右半部分对应于z 平面单位圆外s 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆,7,S 平面垂直直线对应于z 平面的圆
3、周，s 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆,8,S 平面水平直线对应于z 平面具有相应角度的直线 时，正好对应z 平面的横轴,9,S 平面的等 阻尼线对应于z 平面的螺旋线,对于二阶振荡系统，在S平面上等 阻尼线为通过原点的射线且，在z 平面上为螺旋线。,10,11,如图，在S平面上有3个点，分别为,s 域到 z 域的映射关系例题,试求它们影射到Z平面上的点,12,解：采样周期,13,线性离散控制系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根的模|z|1，即闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面的单位圆内。,(2)线性离散控制系统稳定的充要条件,14,2.线性离散系统的稳定性判据,(1)修正劳斯一胡
4、尔维茨稳定判据 双线性变换1,15,z平面与w平面映射关系,16,双线性变换2,17,修正劳斯一胡尔维茨稳定判据,1、系统分析 求出系统开环传递函数G（Z）求出系统闭环传递函数 求出系统特征方程2、采用双线性变换 或 转 换到w域3、采用修正劳斯判据判断系统的稳定性,18,第一列元素为正系统稳定,19,劳斯胡尔维茨稳定判据,若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。,20,系统的特征方程为,二次特征方程稳定性的z域直接判定法,21,朱利判据,22,23,朱利判据稳定性条件
5、,24,把系数a0,a1,an写成如下所示的行列式形式:,该判据提供了一种用解析法判断离散系统稳定性的途径。设离散控制系统的特征方程为,(4)修尔-科恩稳定判据,25,an是an的共轭值，k(k=1，2，3，)是一个有2k行和2k列的行列式。,26,修尔一科恩稳定判据稳定条件:,修尔一科恩稳定判据的两个特例：1、当系统特征方程为 判据为 2、当系统特征方程为 判据为 二次特征方程稳定性的z域直接判定法,27,控制系统稳定性判断实例,1、利用稳定性判据判定系统在不同T及k时的稳定性、并讨论系统开环放大系数K及采样周期T对系统稳定性的影响。2、确定在不同采样周期T时使系统稳定的临界放大倍数K,参考
6、教材P86、87,28,解：,系统特征方程,29,T=1、K=1时系统闭环脉冲传递函数为,系统特征方程为：,方法一、双线性变换1方法二、双线性变换2方法三、二次特征方程稳定性的z域直接判定法,30,结论：1、采样周期T越大系统稳定性越差，临界放大倍数KC越小。减小采样周期T可以提高系统的稳定性。2、放大倍数K对系统稳定性的影响与连续系统相同，K加 大系统稳定性变差。3、控制系统加入零阶保持器后系统稳定性变差。对于离散系统稳定性判据的应用请注意以下两点：1、对于二阶特征方程系统由修尔一科恩稳定判据和朱利判据同样可推导出二次特征方程稳定性的z域直接判定法2、对于一阶特征方程系统的稳定性判断可由稳定
7、性判断的充要条件、修尔一科恩稳定判据和朱利判据直接判断,31,4.2 计算机控制系统的动态特性,通常线性离散系统的动态特性是指系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程。单位阶跃输入比较容易产生，并且能够提供动态响应和稳态响应的有用信息。本节包括下面三方面内容：1.闭环实极点对系统动态特性的影响 2.闭环复极点对系统动态特性的影响 3.用脉冲传递函数求系统的动态响应实例,32,图4.7 单位阶跃输出响应,离散系统的动态特性指标,33,一般采样系统的闭环脉冲传递函数可以写成如下形式：zi 与Pi分别表示闭环零点和极点。当单位阶跃信号输时，系统的输出为 对上式取逆z 变换，得采样系统的输出响应，其中包含稳
8、态响应，及由实极点和复极点所引起的暂态响应。,34,Pr为实数极点，Pi为复数极点,35,1.闭环实极点对系统动态特性的影响,系统的实极点均在z平面的实轴上，每一个实极点对应一个暂态响应分量。由于实极点的位置不同，因而对系统动态特性的影响也不同，如图49所示。极点在单位圆外的实轴上，暂态响应单调发散；极点在单位圆与正实轴交点上，暂态响应等幅；极点在单位圆内的正实轴上，暂态响应单调衰减；极点在单位圆内的负实轴上，暂态响应正负交替衰减；极点在单位圆与正实轴交点上，暂态响应等幅振荡；极点在单位圆外的负实轴上，暂态响应正负交替振荡；,36,37,38,图410可以说明系统动态特性。复极点在单位圆外，暂
9、态响应发散振荡；复极点在单位圆上，暂态响应等幅振荡；复极点在单位圆内，暂态响应衰减振荡；综上所述，对离散系统的极点分布的讨论：1.为了具有满意的瞬态特性，闭环极点应避免在z平面单位圆的左半部，尤其避免靠近负实轴，最好分布在单位圆的右半部，靠近原点最佳，此处响应速度最快。2.极点越接近 z 平面的单位圆，瞬态响应衰减越慢。,2.闭环复极点对系统动态特性的影响,39,3.用脉冲传递函数求系统的动态响应实例,求此系统在K=1，T=1秒时的单位阶跃响应，画出系统响应曲线,解：1、求系统求出系统开环传递函数G（Z）2、求出系统闭环传递函数3、求出系统输出函数的Z变换4、采用长除法（或MATLAB）求输出
10、序列Y（KT）并 画出系统响应曲线,40,41,由Z变换定义知系统输出序列为：,42,MATLAB程序,num=0.368,0.264;den=1,-1,0.632;dstep(num,den,50),43,系统在单位阶跃输入下调整时间 约为12S，超调量约为40%，峰值时间 为 3S，振荡次数为1.5次，稳态误差为0。,44,4.3 计算机控制系统的稳定误差,一、稳态误差的定义和系统类型 二、典型信号输入下线性离散系统稳态误差的计算 1.单位阶跃输入时的稳态误差 2.单位速度输入时的稳态误差 3.单位加速度输入时的稳态误差,45,一、稳态误差的定义和系统类型,稳态误差的定义:,46,系统1,
11、47,系统2:计算机控制系统,48,线性定常离散系统的稳态误差与系统本身的结构和参数有关。与输入信号的类型有关。离散系统稳态误差与采样周期选取有关，但对于具有零阶保持器的离散系统其稳态误差与采样周期T没有关系，采样周期T只影响系统的稳定性。,49,线性定常离散系统的分类,为简化稳态误差的计算过程，将连续系统中系统型别和静态误差系数的概念加以推广至定常离散系统。在离散系统中，按其开环脉冲传递函数G(z)中 在z=1处的极点数作为划分离散系统型别的标准，把 称为0型，1型，2型离散系统。,50,S平面上S=0的极点对应着Z平面上Z=1的极点，对于具有零阶保持器的系统，S平面上S=0的极点个数等于Z
12、平面上Z=1的极点数，即连续系统经零阶保持器离散后系统类型不变。,51,建立离散系统稳态误差系数的概念。单位阶跃输入时的稳态误差；单位速度输入时的稳态误差；单位加速度输入时的稳态误差。,二、典型信号输入下线性离散系统稳态误差的计算,52,单位阶跃输入时的稳态误差,“”型系统，开环传递函数在z=1处无极点，即无积分环节，p为有限值，稳态误差也为有限值“”型系统，开环传递函数在z=1处有一个极点，即有一积分环节，p为无穷大，稳态误差为零高于“”型系统，开环传递函数在z=1处有多个极点，即有多个积分环节，p为无穷大，稳态误差为零,53,单位速度输入时的稳态误差,“”型系统，开环传递函数在z=1处无极
13、点，即无积分环节，v为0，稳态误差为无穷大“”型系统，开环传递函数在z=1处有一个极点，即有一积分环节，v为有限值，稳态误差为有限值高于“”型系统，开环传递函数在z=1处有多个极点，即有多个积分环节，v为无穷大，稳态误差为零,54,单位加速度输入时的稳态误差,“”型系统，开环传递函数在z=1处无极点，即无积分环节，a为0，稳态误差为无穷大“”型系统，开环传递函数在z=1处有一个极点，即有一积分环节，a为0，稳态误差为无穷大“”型系统，开环传递函数在z=1处有两个极点，即有两个积分环节，a为有限值，稳态误差为有限值,55,不同型别单位反馈离散系统的稳态误差,56,系统稳态误差分析的几点注意,1、
14、系统的稳态误差只能在系统稳定的前提下求得，系统不稳定就无所谓稳态误差2、稳态误差为无限大并不等于系统不稳定、它只表明系统不能跟踪该输入信号3、系统型号越高（前向通道中含积分环节多）跟踪输入信号的能力越强，但积分环节越多系统的动态响应越差。4、据分析证明：具有零阶保持器的离散系统其稳态误差与采样周期T没有关系，采样周期T只影响系统的稳定性。,57,线性离散系统稳态误差的计算有两种方法：1、根据定义 对于某些系统（如带有干扰信号的系统）的稳态误差分析只能采用这种方法2、根据离散系统稳态误差系数,线性离散系统稳态误差的计算实例,58,1、利用稳定性判据判定系统在不同T=1及k=1时的稳定性,2、试求
15、系统在单位阶跃、单位速度、单位加速度输入时的稳态误差,59,方法一：定义法,将不同输入信号的R（Z）、G（Z）及系统的误差脉冲传递函数代入计算即可,60,方法二：,本系统的开环脉冲传递函数：系统含有一个积分环节为一型系统,61,单位加单位阶跃输入时：,单位单位阶跃输入时：,单位加单位阶跃输入时：,62,4.4 离散系统的根轨迹和频率特性 1.离散系统的根轨迹,在连续系统中，根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的一种常用方法。由于其可以非常直观方便地分析系统的稳定性、稳态特性及动态特性等，所以在工程实践中获得了广泛的应用。连续系统根轨迹是研究开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根
16、在s平面上变化的轨迹。离散系统根轨迹是研究离散系统开环脉冲传递函数某一参数从零变到无穷大时，闭环离散系统特征方程的根在Z平面上变化的轨迹。,63,考虑线性定常离散系统，如图 4.13 所示。,闭环脉冲传递函数为该系统的特征方程为,64,绘制离散系统根轨迹的基本原则：1、根轨迹起于开环传递函数 MG(z)的极点，终于开 环 MG(z)的零点；2、实轴上的某一区域，若其右侧开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。3、根轨迹对称于实轴。4、渐近线的个数等于开环脉冲传函数的极点与零点个数之差。5、根轨迹的分离点由下式求解,65,6、根轨迹和单位园交点的K值可以采用稳定性判据来判定。7、两个
17、开环极点（实数或复数）和附近一个有限零点的根轨迹是以零点为圆心，零点到分离点距离为半径的圆周或部分圆周。,66,两个实数极点和一个零点的根轨迹,K=15,0.65,67,离散系统根轨迹的MATLAB算法一,k=0:0.01:16n=0.368 0.264d=1-1.368 0.368r1=rlocus(n,d,k)plot(real(r1),imag(r1),x)title(Root Locus),68,离散系统根轨迹的MATLAB算法二,z=-0.717d=1 0.368k=0.368H=zpk(z,p,k,-1)rlocus(H),v=-2.5,2.5,-2,2;axis(v)title(
18、Root Locus),69,2.离散系统频率特性,在连续系统中，频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。只要将传递函数中的 s 用 jw 置换，就可以得到相应的频率特性。频率特性有幅频特性、相频特性。在连续系统中，某一个环节的频率特性为,70,离散系统中，某一个环节的频率特性定义为,离散系统频率特性也常用下述两种形式表示：,71,离散系统频率特性曲线,一、极坐标图（奈奎斯特曲线）,zG=-0.717;pG=1 0.368;k=0.368;Ts=1;numG,denG=zp2tf(zG,pG,k);dnyquist(numG,denG,k);axis(-1,1,-1,1);,72,
19、奈奎斯特稳定判据判定离散系统的稳定性：若线性离散系统开环稳定，则闭环系统稳定的充要条件为：开环频率特性 平面上 不包含（-1,j0）点。若线性离散系统开环不稳定，有N个不稳定极点则闭环系统稳定的充要条件为：当w从0变到 时，开环频率特性 平面上 正向（反时针）包含（-1,j0）点 N/2次。,73,一、对数频率特性曲线（w平面Bode图）,74,MATLAB程序如下：ww=logspace(-1,2,20);n=-0.0381-0.386 0.924;d=1 0.924 0;mag,phase,ww=bode(n,d,ww);db=20*log10(mag);subplot(2,1,1),semilogx(ww,db);title(Bode diagram);xlabel(w-plane frequency);ylabel(dB);grid on;subplot(2,1,2),semilogx(ww,phase);xlabel(w-plane frequency);ylabel(phase);grid on;,75,
