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1、第三章 线性系统的时域分析法,3-6 线性系统的稳态误差分析,3-6 控制系统的稳态误差 系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。给
2、定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。,一、稳态误差的定义和基本概念 系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法：式中：r(t)为给定输入；b(t)为系统主反馈信号。H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。,误差的定义,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(50*0.0,1
3、,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),C(t)=b(t),H(s)=1,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,单位反馈情况：,从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35),C(t),r(t)=1(t),H(s)=2,非单位反馈情况：,从图形和公式中体会误差和稳态误差,稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。,基本公式,注意：两种误差定义的统一
4、性其关键在于反馈传递函数H(s)的确定性、可靠性、准确性。,稳态误差的定义,一,二、给定输入作用下系统的误差分析,这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差：,显然，与输入和开环传递函数有关。,给定输入时的稳态误差,假设开环传递函数 的形式如下：,式中：开环放大系数；开环传递函数积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节；,给定输入时的稳态误差,式中：称为位置误差系数；,单位阶跃函数输入时的稳态误差,当输入为 时（单位阶跃函数）,的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。,如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。
5、习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),从图形中体会误差和稳态误差,当输入为 时（单位斜坡函数）,式中：称为速度误差系数；,单位斜坡函数输入时的稳态误差,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入型系统稳态时能跟踪斜坡
6、输入，但存在一个稳态位置误差型及型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差,结论：,输入,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：零稳态误差,斜坡响应：稳态误差为常数,指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),当输入为 时（单位加速度函数）,式中：称为加速度误差系数；,单位加速度函数输入时的稳态误差,反映了系统跟踪抛物线输入的能力。,0型与型系统稳态时不能跟踪加速度输入型系统稳态时能跟踪加速度输入，但存在一个稳态位置误差型以上系统，稳态时能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差,t=
7、0:.01:100;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094,误差,K0.0094,K0.04,K0.14,r(t),取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态误差,小结：,1,2,3,啥时能用表格？,误差为无穷时系统还稳定吗？,例3-11 单位反馈控制系统的开环传递函数为,试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；,(2
8、)当参考输入为r1(t)，rtl(t)和rt21(t)时系统的稳态误差。,解：根据误差系数公式，有位置误差系数为,速度误差系数为,加速度误差系数为,当参考输入为r1(t)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为,当参考输入为rtl(t)，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为,参考输入为rt21(t)，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为,如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如,则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到,显然，这时至少应选用2型系统，否则稳态误差将为无穷大。无穷大的稳态误差，表示系统输出量与输入量之间在位置上的误差随时间t而增长，稳态时达
9、无穷大。由此可见，采用高型别系统对提高系统的控制准确度有利，但应以确保系统的稳定性为前提，同时还要兼顾系统的动态性能要求。,例3-12 设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解 由图求得系统的特征方程为,1.先判稳,由特征方程列劳斯表 2 1+0.5K 3 K要使系统稳定，必须 K 0,1+0.5K 0,3(1+0.5K)2K 0解得 K 0，K-2，K 6所以，当0 K 6时，系统是稳定的。（1）由图可知，系统的开环传递函数为系统的稳态误差系数分别为,K,2.再求稳态误差,所以，系统的稳态误差为 上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误
10、差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K 6时，系统将不稳定。,（2）求稳态误差系数,（3）求稳态误差,3.说明：,小结：给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统，K，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。,由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。,三、扰动稳态误差 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。,令R(s)=0,
11、例2 设控制系统如图3-26所示，其中给定输入，扰动输入,试求系统的稳态误差。,解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为,所以给定稳态误差为:,图3-26 扰动输入作用下系统结构图,由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为,令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为
12、,所以扰动稳态误差为,为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中,给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即,系统总的稳态误差为,比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中).,四、减小或消除稳态误差的方法,前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增
13、加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。,在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置 加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。,在下图所
14、示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，若设r(t)=0，,提问：E(s)应该放在a还是b处？为什么？,显然，如果选择补偿装置的传递函数为,小结：根据基本公式和各种典型输入型号进行讨论。,消除稳态误差的方法小结：（1）重点集中在前向通路最前端的传递函数中（如G1(s)中）。措施：a.增加稳态增益；b.增加积分环节的个数；（2）使用给定前馈补偿和扰动前馈补偿近似消除部分已知和可测信号造成的稳态误差。,本章小结1、时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间
15、和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。2、二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当（如左右），则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。3、如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。,4、稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。5、稳态误差是系统控制精度的度量，也是系
16、统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。6、系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。,则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。从直观上看，当满足 时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件
17、参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。,例题,求图示系统的稳态误差ess。,其中 r(t)=t,n(t)=-1(t),解：,令n(t)=0,因为系统稳定，所以,令r(t)=0,En(s)=-Cn(s),总误差ess=essr+essn,稳态误差小结：1.公式小结,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（1）基本公式,给定输入单独作用时,扰动单独作用时,给定输入和扰动共同作用时,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）
18、,（11）,4.稳态误差的计算方法(1).拉氏变换的终值定理 当输入信号为 时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数,b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值 即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：,为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数。则:,解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?当 时,上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速
19、度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=,扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。,注意：这里用心算法。,作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替,为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。,作业：3-15，3-16,谢 谢！,
