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1、结构动力学基础目 录,第2章 结构动力学概述第3章 单自由度体系的振动分析第4章 多自由度体系的振动分析第5章 频率和振型的实用计算方法,第2章 结构动力学概述,动荷载的特性结构的动力特性结构响应分析,动荷载,结构体系,响应,输入,输出,结构动力学是结构力学的一个分支.研究结构动力响应（如位移、应力等的时间历程）.,改善结构的动力特性和承载能力,目的,确定和验算结构的极限承载能力,确定结构的动力学特性,2.1 动荷载的定义和分类,大小方向作用点,大小方向作用点时间变化,数值,时间函数,定义,荷载本身随时间变化,引起的惯性力与荷载相比不可忽略,分类,确定性荷载,非确定性荷载（随机荷载）,周期性荷
2、载,非周期性荷载,结构在确定性荷载作用下的响应分析称为结构振动分析。,我们常见的动荷载有哪些？是如何分类的？,凡是随时间变化的荷载都是动荷载吗?,非周期性荷载：如打桩机产生的突加荷载,再有爆炸冲击波产生的冲击荷载。,此类荷载可采用特殊方法处理。,周期性的非简谐荷载,傅立叶分解,不同简谐分量加权和,周期性荷载：随时间周期性变化。如简谐荷载,非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的。如：地震作用、风载即非确定性荷载，又称为随机荷载,本课程主要讨论确定性荷载作用下的结构振动分析。,其响应分析方法称为随机振动分析。,脉动风,2.2 结构动力学的任务和研究内容,首先通过简例建立有关机械振动的一
3、些基本概念,什么是振动？,如图所示：,因某种原因使物体在平衡位置附近所作的往复运动。,振动的一些特性可以通过以前学习过的理论力学和数学方面的知识加以研究,振动在日常生活中很常见。有利有弊。,航天器的设计,地震,增强的实例,减弱的实例,如图所示：,取质量块为隔离体分析其受力,引入惯性力，建立力的平衡方程：,考虑到静平衡时,两边同除以质量，并设,可以得到无阻尼自由振动微分方程的标准形式,取振动过程中的任意时刻作为研究对象。,建立坐标系,此为二阶齐次线性常系数微分方程，解的一般形式为：,其中s为待定常数，将上式代入原微分方程中，可得：,上式为原微分方程的特征方程，其两个根为：,引入欧拉公式：,所以：
4、,则：,合并同类项,初始条件：,可写为：,其中a、b为积分常数，可由初始条件决定。,代入位移表达式：,代入速度表达式：,因此解可化为：,利用三角关系：,令：b w t;a,见图，显然有：,可将上式化为：,速度和加速度表达式：,结构动力学的基本特性与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在：1）数学处理复杂引入惯性力涉及到二阶微分方程的求解；结构阻尼机理的复杂性。2）解答不是惟一的 由于荷载是时间的函数，因此结构的动力响应（位移、速度和加速度等）也与时间有关。3）需考虑结构本身的动力特性惯性力是结构内部弹性力所平衡的的一个重要部分；阻尼对结构响应也有一定的影响。,结构动力学的任务1）提供动力响应
5、分析方法；2）确定结构的固有动力特性，建立结构的固有动力特性、动荷载和结构动力响应三者间的相互关系；3）提供对结构进行动力可靠性设计依据。结构动力学的研究内容,动荷载,结构体系,响应,控制,理论研究方面：1）结构的响应分析；（结构动力学的正问题）2）结构的参数识别或系统识别；（反问题）3）荷载识别；（反问题）4）结构的振动控制；（当前科研重点问题）5）优化设计。（动力设计，设计中考虑动力特性）实验研究方面：1）材料性能的测定；2）结构动力相似模型的研究；3）结构固有（自由）振动参量的测定；4）振动环境试验等。本书主要介绍结构的动力响应问题。,2.3 结构动力分析中体系的自由度,动荷载结构产生弹
6、性变形荷载变化结构变形变化,变形变化结构上质点振动质点振动惯性力,独立参数确定质量的位置独立参数的数量：称为振动自由度,体系动力自由度的定义建立数学模型时，在振动过程的任一时刻，为了表示全部有意义的惯性力的作用，所必须考虑的独立位移分量的个数，称为体系的动力自由度。注意与静力自由度定义的区别!在静力学中，一个物体的自由度，通常定义为确定此物体在空间中的位置以及全部变形状态所需要的独立参数的数目。动力自由度讨论变形体质量的运动自由度。工程结构一般都为无限自由度体系，将其简化为有限自由度体系（多自由度或单自由度体系）等于加入了人为约束。,体系自由度的简化 1）集中质量法把结构的分布质量按一定的规则
7、集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。例如：房屋结构一般可简化为层间剪切模型,2）广义坐标法假定结构时的位移曲线可用一系列位移函数的线性和来表示，则组合系数称为广义坐标。适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。例如：桥墩、简支梁结构等的变形可以用三角函数或三角函数的线性组合来表示。,通式为:,以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。,广义坐标数代表了所考虑的自由度数。,3）有限单元法对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。其要点是先把结构划分成适当数量的单元
8、，然后对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的若干个几何特征点处的广义位移作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的位移函数。,特点：它综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。已有不少专用的或通用的程序（如Sap，Ansys等）供结构分析之用。包括静力、动力 和稳定分析。,体系自由度的确定广义坐标法：广义坐标数即为体系自由度的个数有限单元法：独立节点的位移数即为自由度的个数集中质量法：各质点独立运动数目之和注意：一般忽略受弯杆件的轴向变形；集中质点的个数不一定等于体系的自由度；平面上的无
9、约束质点有两个自由度，而质量块有三个自由度,【例】确定图示结构的自由度:,DOF=2,DOF=3,DOF=？,质点,质量块,集中质量的质点数与自由度相关，但并非一个质点就一个或两个自由度，并且自由度与是否超静定无关。如：,可用加链杆的方法确定自由度。,2.4 结构的动力特性,表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性（structural dynamic characteristics)。先研究一个最简单的有阻尼单自由度体系的数学模型,质量表示结构的惯性；弹簧表示结构的刚度；阻尼器表示结构的能量耗散.,在动荷载作用下，结构的动力响应规律与结构的质量（包括转动惯量）分布、刚度分布和能量耗
10、散机制等有关。,结构的动力特性一般包括三方面内容：频率、振型、阻尼,以下为单自由度无阻尼体系的自由振动,振动一周所需时间为周期，进而可以得出频率。结构的自振频率 结构自由振动时的频率称为结构的自振频率(free vibration frequency)，也称固有频率(natural frequency)。,多自由度体系:自振频率个数=结构的动力自由度数频率谱：自振频率按由小到大顺序排列。,稀疏型,密集型,分类,单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的房屋建筑等结构,连续梁、板、空间结构、考虑扭转振动的房屋建筑等结构,基本频率：,频率谱中最小的频率，简称为基频(fundamental frequency
11、)。,其余按顺序分别为第二、第三等频率。,结构的振型,基本振型：与基频对应的振型称为结构的基本振型(fundamental mode of vibration)。结构的位移响应：对线性（线弹性）系统，结构的位移响应可用结构振型的线性组合来表示。,当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为振型(mode of vibration)。,如左图所示结构，分别按两个自振频率振动时：,在振型空间是独立的，而在物理上是同时发生的。,1,2,结构的阻尼结构在振动过程中存在着能量耗散，这种能量的耗散作用通常称为阻尼(damping)。,无阻尼,有阻尼,能量耗散的产
12、生因素：1）结构材料的内摩擦；2）各构件连接处的摩擦；3）结构周围介质的阻力。阻尼可分类如下：粘性阻尼:阻尼力与速度成正比滞后或固体阻尼:材料的固有特性，不易确定库仑或干摩擦阻尼:阻尼力与垂直于表面的力成正比，一般不考虑一般采用等效粘滞阻尼理论：,2.5 结构体系运动方程的建立,体系运动方程建立的一般方法在结构动力分析中，建立描述体系质量运动位移的数学方程，称为体系的运动方程。直接平衡法：也称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题，通过力的平衡建立方程。虚功法:利用虚功原理导出以广义坐标表示的运动方程。变分法:通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形
13、式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。对于不同的结构体系建立运动方程时，三种方法的应用各有所长。本课程仅讨论直接平衡法。,体系运动方程的建立一般步骤：1）简化自由度，建模；2）建立坐标系，确定各自由度的位移参数，并标出；3）根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力；4）通过质量平衡或变形协调,建立体系的运动方程。,单自由度体系运动方程建立的步骤如下：,建立计算模型,运动方程建立的具体方法：A)刚度法：取每一运动质量为隔离体，通过分析隔离体的受力，建立质量各自由度的瞬时动平衡方程。B)柔度法：以结构整体为研究对象，利用位移法，根据位移协调条件建立方程。根据
14、具体结构情况加以选用,例2-1图示刚架为单自由度体系。,坐标取向右为正。,列平衡方程：,其中惯性力和阻尼力分别为：,分析质量在外力作用下任意时刻的受力。,首先是外力；,还有因两个立柱变形受到的弹性恢复力；,另外还受到阻尼力；,及质量产生的惯性力。,弹性恢复力的确定,应用结构力学的位移法：如图所示：,则当柱端发生平移 y 时柱端产生的梁-柱间剪力为：,所以：,柱子一端产生单位平移时,在杆端产生剪力,其中刚度系数：,以上即为以刚度系数表示的单自由度体系的运动方程。,将以上各力代入原方程：,整理后写成一般形式为：,下面再看一个用柔度法建立运动方程的例子。,两种形式的方程是可以相互转换的。,例2-2图
15、示简支梁,假设其质量集中于跨中，则其为单自由度体系。坐标取向下为正。,在所示各力的作用下，质量产生的位移为：,其中：,取整体为研究对象：,分析其受力情况，与前面例题类似地标于图上。,为均布荷载产生的位移,将以上各式代入原位移的表达式得：,以上为柔度法建立的单自由度体系的运动方程。,整理后写成一般形式为：,为单位力作用下的位移,又称为柔度系数与刚度系数成倒数关系！,比较：,含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！,令：,FE(t)定义为体系的等效动荷载或等效干扰力：,多自由度体系运动方程的一般形式,例2-3：一双层刚架,坐标取向右为正，分别标于图上。,如果
16、忽略阻尼，分析在任一振动时刻两个质量上所受的各种力。,分别列出两个质量的受力平衡方程：,它为两个自由度结构体系，可以将其简化为如图体系。,上式中：,将其代入整理得：,比较系数可得刚度系数：,写成一般形式为：,的定义：为仅当j自由度发生单位位移时所引起i自由度上的力。,本例题中各刚度系数的求解可以参看右边的两个图。,左图中仅当第1自由度发生单位位移时，在第1、2个自由度引起的力分别为：,右图中仅当第2自由度发生单位位移时，在第1、2个自由度引起的力分别为：,物理意义：各自由度之间的相互影响。,将运动方程写成矩阵形式：,如果考虑阻尼则上方程变为：,用柔度法也可以建立与上面相仿的运动方程。,矩阵形式
17、的方程为：,其中：,为柔度矩阵。,其中柔度矩阵中的柔度影响系数为,其定义为：仅当j自由度上作用单位力时所引起i自由度的位移。,柔度系数的计算可以参照下图，用图乘法得到：,通过以上分别在第1、2个自由度上作用单位力后的两个弯矩图的自乘和互乘可以得到：,多自由度体系运动方程的一般形式由两个自由度的运动方程可以推出多自由度结构体系运动方程的一般形式（无阻尼时）：,用刚度法和柔度法建立体系运动方程的步骤：刚度法：自由度；质量矩阵；外荷载向量；刚度矩阵柔度法：自由度；质量矩阵；荷载位移向量；柔度矩阵,柔度矩阵可变换为：,可以看出：,即刚度矩阵与柔度矩阵互逆,小 结,重点动力特性：频率、振型、阻尼；动静法
18、建立体系运动方程；刚度系数、柔度系数的定义；等效干扰力向量的确定。讨论课后思考题作业6、7、8题,第3章 单自由度体系的振动分析,3-1 单自由度体系自由振动分析自由振动,如果去掉外荷载,FP(t)=0!,自由振动的运动方程,此为二阶常系数齐次微分方程，设解为：,令,则原方程化为：,将其代入可得到特征方程：,解得,则通解为,根据三角变换：,可将上式化为：,无阻尼自由振动,物理意义振动各量之间关系代入初始条件后,无阻尼自由振动可得到结构本身的动力特性周期、圆频率（频率）、工程频率之间的关系为：,对上式稍做推导可得：,此式表明：已知重力作用下的静变形，就可以求得系统的固有频率。,比较图示三种单自由
19、度梁的圆频率。,梁的自振频率为：,解,按各梁的单位弯矩图，求梁柔度：,三种情况的频率：,三种情况的频率比：,有阻尼时：分三种情况,令,临界阻尼,将不出现振荡,低阻尼,称为有阻尼自振频率,对于一般工程结构，阻尼比小于0.2,因此，它接近于结构的无阻尼自振频率,则通解为：,根据初始条件确定积分常数可得：,可化为按指数规律衰减的三角函数的形式：,经整理重新定义积分常数，可得通解为：,利用欧拉公式可转化为三角函数的形式。,物理意义：,按不变的圆频率wd，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xwt 衰减。最终会衰减到零。,其中最大振幅,与临界阻尼情况类似，也不会产生振荡,初相位,一般工程结构的
20、阻尼比都较小，属于第二种情况。,超阻尼,确定体系阻尼比的一种方法,体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：,阻尼体系动力反应：,体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：,取对数后：,进而：,3-2 单自由度体系的受迫振动,微分方程的解分为通解和特解两部分，通解为自由振动的解，前面已经得出。下面应用叠加原理求受迫振动的特解。先研究任意荷载作用下的情况。,结构体系在外荷载激励下的振动,它既与结构本身的动力特性有关，又与外荷载的特性有关。,其运动方程的右端项不再为零。,=动力响应,因此,此为二阶常系数非齐次微分方程。,思路：将任意荷载视为一系列独立脉冲的总和，设法求出每一独立脉冲的响应，然后积
21、分叠加起来。步骤：1）根据动量定理，冲量等于动量的增量。,2）再利用速度与位移、加速度的导数关系求出位移和加速度。,3）假设冲击过后结构将作自由振动，初始条件为上面得出的初位移和初速度。因为位移为二阶微量，可忽略。,4）根据叠加原理：,上式称为杜哈梅（Duhamel）积分，为特解。,全解即为通解与特解之和。,F0为荷载的幅值，q为荷载的圆频率。,几种常见荷载作用下的动力响应分析简谐荷载,其解为瞬态响应（通解）和稳态响应（特解）之和。通解前面已经得出。,代回原方程，引入频率比：,整理可得出关于G1G2的线性方程求得系数：,下面讨论其特解的求解方法。考虑到荷载的特性，假设特解也为简谐量，写为：,对
22、上式求导可以得出速度和加速度的表达式。,对y2(t)求导：,运动方程：,代入运动方程：,变量t为任意值时，等式均恒成立的条件？,方程的全解：,（3-37）,第一项按自振频率wd 振动，是由初始条件确定的自由振动反应。由于实际结构中阻尼的存在，这一项很快会被衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，不应忽视瞬态反应；,但一般情况下，工程中只关心稳态响应。经三角变化，可得稳态响应为：,其中：,可得出动力放大系数的概念：,注意到：,称为荷载幅值作用下的静位移。,其大小与阻尼比和频率比有关。,稳态响应物理意义,稳态反应：与外荷载同频率q 但存在一定相位差y；
23、这里的相位差表示反应的相位比荷载相位所落后的角度。,无阻尼时：,共振时：动力放大系数接近最大,按函数极值条件，对求导并令其等于零可得当：,讨论：,放大系数取最大值：,动力放大系数的曲线为：,激励频率极小时：m1：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，y 0。,激励频率极大时：m 0：质量振幅很小，惯性力很大，y 接近于180度。,发生共振时：,动力系数与阻尼成反比！,共振可能导致结构破坏！,在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！,在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！,美国塔科马海峡吊桥在 1940年11月7日，也就是在它刚建成4个月后，受到风速为4
24、2英里/小时的平稳载荷时发生了倒塌。,为减小振动，可采取措施增加结构的阻尼比。减振措施之一,下面看几个增大阻尼的实例；通过例题3-2的数值计算可以加深理解。,讨论1：外荷载不直接作用在质点处求图示简支梁的最大动位移和最大动弯矩。,提示：简支梁1/4跨处作用单位力时跨中位移为：,由书例题可得最大动位移：,最大动内力=外力幅值作用内力+惯性力作用内力,所以等效作用力系数为,通过叠加结果与外力幅值作用结果比较：,最大动内力放大系数,但不同截面处的动内力放大系数不同。,将以上内力图叠加可得：,讨论2：跨中最大内力最大动内力+质点重力作用下内力这是验算截面极限承载力的依据。,最大动内力：,质点重力作用下
25、内力：,结构的设计应考虑各种因素的最不利组合：,荷载组合：要考虑荷载发生的概率,内力组合：要考虑各种内力最大值,补充1,解：,1、自振频率：,3、离心力幅值：,2、干扰力频率：,4、梁中点的振幅：,补充2,解：（一）不共振情况,1、动力系数：,2、动位移幅值：,3、梁中点的总位移：,4、动力弯矩图及总弯矩图的绘制,a)一般方法,*确定动位移达到幅值时的时间,*确定惯性力幅值和动荷载幅,*将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图,b)比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）,（二）共振情况,1、动力系数：,2、动位移幅值：,3、梁中点的总位移：,设自振频率在计算过程中有25%的误差，则 61.
26、5（125%）61.5(125%）46.125 76.875 而=52.3，产生共振。,周期荷载：可用傅里叶级数展开法化为简谐荷载之和,再利用叠加原理求总响应。,按上式原周期荷载可变换为三项荷载之和：静荷载、余弦荷载、正弦荷载。分别求出动力响应，再叠加求总响应。,体系的总位移可利用叠加原理求得；无阻尼时（了解）：,其中：,补充:谐振分析,任一复杂的周期性振动都可以分解为一系列的简谐振动。,付里叶分析根据实际振动曲线的形状，或它的位移时间函数关系，求出它所包含的各种简谐振动的频率和振幅的数学方法。,按照付里叶级数理论，一个周期为的周期函数()可展开为正弦或余弦函数的级数，即,其中各分振动的振幅A
27、n与初相位n都可由函数f(t)的积分求出。,x（t）=A0+A1cost+A2cos2t+B1sint+B2sin2t+,这些分振动中频率最低的振动叫基频振动，它的频率就是原周期函数f(t)的频率，称为基频。,谐振分析这种把一个复杂的周期性振动分解为一系列的简谐振动的方法。,其它分振动的频率都是基频的整数倍，依次分别称为次、次、次谐频（倍频）。,这种将一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的方法，也称为频谱分析。频谱分析可借助于频谱分析仪来完成。,在进行谐振分析时，所取级数的项数越多，其合成情况与实际情况越接近。,某电压u(t)随时间作周期为、振幅为的矩形振动（方波），如下图所示：,按付里叶
28、级数展开为：,上式表明：方波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的，这些正弦波的频率依次为基频的奇数倍。,将一周期性振动展开为付里叶级数的结果，可以直观地表示为：以角频率为横坐标，相应的振幅为纵坐标作出的频谱图，如下：,一般来讲，这是个椭圆方程。,利用三角函数关系，合并两式，并消去 t 得合成振动的轨迹方程,x=A1cos（t+1）y=A2cos（t+2）,设两个频率相同的简谐振动在相互垂直的x、y轴上进行，其振动方程为,两个同频率、互相垂直的简谐振动的合成,（1）如果两分振动同相位，即（2-1）=0、2、4、，则上式变为:（cos=1、sin2=0）：,合振动的轨迹是一条通过坐标原点，斜率为2
29、/1的直线。,合振动的轨迹的形状和运动方向均由分振动振幅的大小和相位差决定。,合成振动的轨迹是另一条通过原点、斜率为-A2/A1的直线。,（2）当两分振动反相时，即（2-1）=时，由上式得（cos=-1、sin2=0）：,（3）（2-1）=/2或32时，上式变为,这表示合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的椭圆。当（2-1）=+/2时，振动沿顺时针方向进行；,当（2-1）=-/2时，振动沿逆时针方向进行。若A2=A1，则椭圆变为圆。,注：合振动的轨迹，其形状和运动方向可由分振动的振幅的大小和相位差决定。,用旋转矢量图示法可直接绘出质点运动的轨迹，并且能确定质点沿轨迹运动的方向。,结论：任何一个直线简谐
30、运动、匀速圆周运动以及椭圆运动都可以被分解为两个互相垂直的同频率的简谐运动。,99,突加荷载：荷载为常数，特解就是它引起的静位移：,因此位移由静位移叠加静平衡位置附近的简谐振动。,通解为自由振动的衰减简谐振动，因此全解为：,当初始条件为静止，且忽略阻尼时：,无阻尼,有阻尼,矩形脉冲荷载：与突加荷载类似，若不考虑阻尼的影响。分两阶段：荷载作用阶段，动力响应情况与突加荷载类似；荷载结束后以当时的位移和速度为初始条件作自由振动。,总动力响应为：,讨论：若t1大于等于体系周期的一半，最大动位移出现在第一阶段，动力放大系数为2;若t1小于体系周期的一半，在第二阶段，动力放大系数为2sin(t1/2).,
31、爆炸冲击荷载可以简化为三角形脉冲荷载，求解方法：荷载作用阶段：杜哈梅积分求响应；荷载作用结束后：由初始条件做自由振动。对于各种冲击荷载形式，很容易画出动力放大系数与作用时间周期比（脉冲长度比）的函数曲线，这些曲线称为冲击荷载的位移反应谱或简称反应谱。矩形、三角形和半弦脉冲的位移反应谱大致如下：,横坐标为不同脉冲长度比的脉冲作用；纵坐标为相对于不同脉冲的动力放大系数的最大值。注意：它不是时程响应。推广到有阻尼的单自由度体系：在给定动荷载下，其最大响应只和周期、阻尼比有关；对不同的阻尼比做出最大响应随周期比的变化曲线；这条曲线称为体系在给定动荷载作用下的“反应谱”。反应谱不是同一个体系的“反应”时
32、程；而是不同体系在同一动荷载作用下的响应“最大值”,反应谱的概念将应用于结构抗震设计，并在后面章节中详细介绍。,小 结,重点要深刻理解、熟练掌握基本概念（频率、周期的计算，振幅、相位的算式、简谐荷载作用下动力放大系数与频率比、阻尼比的关系）共振区阻尼的作用是不可忽略的，可利用阻尼控振 线性结构体系利用冲量叠加可以导出杜哈梅积分 讨论单自由度体系在给定动荷载作用下的响应只与周期和阻尼比有关，利用这一性质可以建立不同阻尼比结构响应随周期变化的曲线，这就是抗震计算中的反应谱的概念。作业：5-8题,1、2-6（b）：两个自由度不是层间剪切模型直接应用刚度系数的定义由于两个自由度有相互影响，阻尼为矩阵。
33、2、2-7：单位的统一,习题课,再选择方法；柔度系数可参照下图，用图乘法得到：,通过以上分别在荷载作用处、第1、2个自由度上作用单位力后的弯矩图自乘和互乘可以得到：,3、习题2-8,首先分析自由度数；在图中标明,4、支座扰动的情况,如图所示结构，受竖向支座扰动。,其运动方程为：,如果基底扰动为简谐荷载则体系动力稳态反应幅值可写为：,为动位移放大系数,放大系数与阻尼比和频率比有关。画出不同阻尼比的放大系数曲线。,当阻尼比为0.7时，频率比在0到0.6之间时，动力放大系数接近常量。,因此，系统加速度反应幅值与基底加速度幅值成正比。,这就是地震加速度计的原理。,设简谐基底位移：,讨论：位移计的原理,体系反应加速度：,有效荷载：,则位移反应幅值：,阻尼比=0.5时,系统位移反应幅值与基底位移幅值成正比。,5、隔振的原理,上部结构发生振动，由弹簧和阻尼与基底连接。,由上部结构稳态反应的方程可以求解出通过弹簧和阻尼传给基底的力的幅值为：,因相位不同，二力合力的最大值可写为：,则作用于基底上力的最大值与作用力幅值之比传导比：,基底激励向上传导也可以得出相同结论。,在有效隔振区，随着阻尼比增大，隔振效果变差。,时有效隔振,由图可看出：,但并不能忽略阻尼的作用。请自己分析。,
