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1、研究数量和形状的科学数学之源泥版的故事佛掌上的“明珠”数学之桥数学的摇篮十进制和二进制的故乡,一、数 学 的 童 年,数学的摇篮,巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答“怎么做”，却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的道理，才逐渐产生了现代意义上的数学科学。第一个对数学诞生做出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算出了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。在泰勒斯之后，以毕达格拉斯为首的一批学者对数学做出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”，在西方被称为“毕达格拉斯定理”。正用了这一定理，后来导致
2、了无理数的发现，引起了第一次数学危机。欧几里德吸取其中的精华，写成了几何原本。之后，阿基米德开创了希腊数学发展的新时期。人们称为亚历山大时期，阿基米德被称为“数学之神”。在天文学发展的促进下，希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学，你可马修斯写出了第一本专门的数论典籍算术入门。丢番图则研究各种方程，尤其是不定方程。这样初等数学的各个分支都建立起来了，这意味着，有巴比伦人、古埃及人孕育的数学婴儿，终于在古希腊的摇篮中诞生了。,数 的 来 历,原始社会中，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、市头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种意识往往与实物联系在一起，如：“月亮
3、”代表“1”，“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”等。最早用来计算的是手指、脚趾、或小石头、小木棒等。表示1、2、3、4个物体，就分别伸出1、2、3、4个手指，遇到5个东西就伸出一只手，10个就伸出两只手。当数目多时就用小石头来算。但大多数的原始人遇到大一些的数目时，往往无从区分。用手指、脚趾和小石头来计算难以长时记录一个数。因此，古人发明了打绳结的方法，或在兽皮、石头、树木上刻划计数。这些记号慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。现在的数码是印度阿拉伯数码，用十进位制来表示数。现在看起来简单而平常，它却是人类进过长时间的努力才演变成的。如古埃及的数马是这样的：1 10 100 1000
4、10 000 100 000 1000 000 10 000 000 数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。,二、丰富有趣的数学,数的来由数的家族奇妙的自然数含义丰富的0分数的妙用小数的经历负数的引入无理数的风波真实的虚数无限大和无限小,神秘的9的“马拉松计算”棋盘上的麦粒问题兔子问题稀少而有趣的完美数亲和的友好数有趣的素数问题歌德巴赫猜想悬而未决的费马数勾股数与费马大定理,棋盘上的麦粒问题,在印度有一个古老的传说，舍罕王打算奖赏国际象棋的发明者宰相西萨班达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘上的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒
5、，第3个小格里给4粒，以后每一个小格里都比前一小格里加一倍。请您把这些摆满棋盘上所有64个地麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋又一袋的麦粒搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了这位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为：1+2+22+23+263=264 1（粒）人们估计，全世界两千年也难以生产这么多的麦子！,（第64格）（第4格）（第3格）（第2格）（第1格）,三、是非难分的悖论,数学悖论罗素悖论说谎者悖论强盗的难题部分也能等于整体吗难拿的箱子“任一三角形都等腰”“直角等于钝角”无法编成
6、的目录,强盗的难题,以强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。为了戏弄他就对他说：“你说我会不会杀了你，如果你猜对了，就放了你。如果你猜错了，立刻把你杀掉！”聪明的商人仔细想了想，说：“你会杀了我。”于是强盗愣了，“哎呀！我该怎么办？如果我杀了你，你就猜对了，应该放了你。如果我放了你，你就猜错了，应该杀掉。”强盗想不到会被难住，心想商人也很聪明，就放了他。这时古希腊者哲学家们喜欢讲的一个故事。仔细想想，就知道商人是多么机智。他对强盗说，：“你会杀了我。”这样无论强盗怎样做都是互相矛盾的。如果商人说：“你会放了我。”那么强盗就可以说：“不，我会杀了你。”下面有个类似的例子：有个虔诚的教徒，他在
7、演说中口口声声地说上帝无所不能，什么事都能做。一个过路人问了一个问题，让教徒哑口无言。这话是：“上帝能创造出一块他也举不动的石头吗？”请你想一想，为什么教徒会哑口无言吗？,四、各“式”各“样”,代数式因式分解解方程的技巧丢番图的墓志铭盈不足术恒等式的用处韦达定理鸡兔同笼,丢番图的墓志铭,墓中长眠着一位伟大的人物丢番图！他一生的六分之一时光，是童年时代；又度过了十二分之一岁月后，他满脸长出了胡须；再过了七分之一年岁月时，举行了花烛盛典；婚后五年，得一贵子。可是不幸的孩子，他仅仅活了父亲的半生时光，就离开人间。从此，作为父亲的丢番图，在悲伤中度过四年后，结束了自己的一生。,这首诗刻在被称为代数学之
8、父的古希腊数学家丢番图的墓碑上。这片墓志铭实际上是一个方程式，既代表了他的生平，又是对数学家的最好纪念。假设这数学家的寿命为x岁，则：x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 x=84因此丢番图是33岁结婚，38岁得子，儿子寿命为42岁，在丢番图80岁去世，他自己终年84岁。,五、“形”象万千,数学巨作几何原本日神提出的问题倍立方体的香案地面铺砖的学问三脚架竖立的奥秘黄金数与优选法古老的勾股定理美妙的对称简单实用的圆弧形滑梯与折叠式车门奇妙的墨毕乌斯纸环,古老的勾股定理,左图中有边长为3、4、5的正方形，他们互相连接围成的一个三角形。三个正方形都被分成大小相同的一些小方格，并且每一
9、条边上的小方格上的个数，与这条边的长度的数字相等。,两个小正形的小方格数分别为9和16，其和恰好等于大正方形的小方格数25。整幅图反映了“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”。这就是勾股定理，西方人称它为毕达格拉斯定理。勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。据说四千多年前，中国的大禹就用了勾股定理来测定两地的地势差，以治理洪水。勾股定理在现代的应用更为广泛，实际上，勾股定理在现代的应用范围是任何数学定理所不可比拟的。,六、组合与概率,鸽笼原理神秘的幻方装错信封问题36军官问题湖中鱼数量的概率测定法赌徒输赢的概率“一笔画”与连通网络七桥问题与位置几何学地图着色的四色猜想,地图着色
10、的四色猜想,人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才把相邻的国家或不同的区域区分开来。这个地图着色问题是一个著名的数学难题。在地图上区分两个相邻的国家和区域，要用不同的颜色来图这两个国家和地区。如左图所示的地图，1，2，3，4表示四个国家，因为这张地图的四个国家中任何两个都有公共边界，所以必须用四种颜色来区分。于是，有的数学家猜想：任何地图着色只需四种颜色就够了。正式提出地图着色问题的是1852年。当时伦敦大学的一名学生法郎西斯向他的老师、著名的数学家、伦敦大学教授数学莫根提出了这个问题。莫根无法回答，求助于其他数学家也没能解决。于是，这个问题一直传下来了,直到19
11、76年9月，美国数学会通告宣布了一件震撼全球的消息：美国一粒若四的两位教授阿贝尔和哈根利用电子计算机证明四色猜想是正确的。他们将四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，在计算机上花了1200个小时，终于证明了四色问题。,七、数学工具,原始的计算工具最早的数学表规矩和直尺圆规算筹和筹算算盘和珠算最早的三角函数,天文学家与对数简易计算工具纳皮尔筹伽利略发明的分析机最早的计算机原型图灵机电子计算机数学的“软工具”逻辑方法,电子计算机,1946年，在美国的宾夕法尼亚大学，诞生了世界上第一台电子计算机ENIAC。它最重要的特点是能按照人编写的程序自动地进行计算。从1946年至今，经过了40多年的发展，
12、电子计算机已“进化”到第四代了。第一代以电子管为主要元件。利用这一代计算机，人们把人造卫星送上了天。第二代以晶体管构成基本电路。开始有了算法语言和编译系统。运输速度达每秒几百万次，体积、重量、耗电量、造价都大大减少。第三代始终小规模集成电路组成的机器。这是已有了操作系统，小型机广泛应用，有了终端与网络，运输速度达每秒几千万次。第四代式大规模集成电路。体积与成本大幅度减少。这是制成了微型计算机，在工业、科学研究和家庭生活中广泛使用。第五代电子计算机实际是智能计算机。具有模仿人脑思维过程的能力。从1979年起，日本等国家组织了各方面的专家，开始了对这种计算机的研究，现已取得初步进展。有人断言，现代
13、社会中的每一项活动都有电子计算机的踪迹。,八、数学符号,数学重的符号+的由来阿拉伯人创造了分数线小数点的大用处欧拉首先使用的符号相等（=）、小于（）、大于（）求和符号（)和连乘积符号(),+的由来,加法符号，开始使用时是英语plus（加）的字头p。在德国实用了相当于英语的“and”（和）的词et。随着欧洲商业的繁荣，写“et”也谦慢了，为了加快速度，把两个字母连着写，渐渐就写成了“+”。,减法符号也是一样，使用minus（减）的开头m，逐渐变成“”。,在“+”出现100年后左右，英国的奥特雷德首次使用了“”作为乘号。据说乘号是根据加号得来的。因为乘法运算是从几个相同的数连加运算发展而来。所以降加号稍加改动，就变成了“”。后来，莱布尼兹认为“”容易和x相混淆，就建议用“”来代替乘号“”，这样，“”也得到承认。但有人觉得“”容易和小数点混淆，人坚持用“”。除法符号“”是英国的瓦里斯最初实用的，后来在英国得到了推广。除的本意十分。符号“”的中间的横线把上下两部分分开，形象的把“分”表现出来。但在德国，莱布尼兹是使用“：”表示除号。一直沿用到现在。后来人们用“：”表示比。因为比的含义和除是一样的,
