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1、数学物理建模与计算机辅助设计,专题3：特殊函数的可视化,Page 2,本专题主要内容与参考资料,主要内容MATLAB涉及的特殊函数函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数参考资料杨华军,数学物理方法,电子工业出版社彭芳麟,数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清华大学出版社,Page 3,MATLAB涉及的特殊函数,查看方法-MATLAB中特殊函数的调用在命令窗口输入 help matlabspecfun,airy-Airy functions.爱里函数 besselj-1st kind Bessel function.第一类贝塞尔函数 bessely-2nd k
2、ind Bessel function.第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）besselh-3rd kind Bessel functions.第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）besseli-1st kind modified Bessel function.第一类虚宗量贝塞尔函数 besselk-2nd kind Modified Bessel function.第二类虚宗量贝塞尔函数 beta-Beta function.Beta函数 betainc-Incomplete beta function.不完全的Beta函数 betaln-Logarithm of beta function.Beta
3、函数的对数 ellipj-Jacobi elliptic functions.雅可比椭圆函数 ellipke-Complete elliptic integral.完全的椭圆积分,Page 4,MATLAB涉及的特殊函数,erf-Error function.误差函数 erfc-Complementary error function.余误差函数 erfcx-Scaled complementary error function.标度的余误差函数 erfinv-Inverse error function.逆误差函数 expint-Exponential integral function.指
4、数积分函数 gamma-Gamma function.函数 gammainc-Incomplete gamma function.不完全的函数 gammaln-Logarithm of gamma function.函数的对数 psi-Psi(polygamma)function.双(多值)函数 legendre-Associated Legendre function.连带勒让德函数,Page 5,函数(Gamma函数),函数的定义函数的性质：,（3）(z)在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,之外处处解析。,（1）,（2）,（4）(z)在全平面内无零点，即。,Page 6,函数(G
5、amma函数),函数的图形的绘制 x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,linewidth,4);grid on axis(-3 3-5 5),(x)的奇点分布：z=0,z=-1,x=-2,Page 7,函数(Gamma函数),如何绘制复变量(z)函数图形?,z=5*cplxgrid(30);f=mfun(gamma,z);cplxmap(z,f);view(60,30)axis(-5 5-5 5-10 10),%mfun是数学软件MAPLE中的函数，是对经典的特殊函数求值,勒让德(Legendre)函数,问题来由：,球域内Laplace方程的边值问题：,分解为两个常
6、微分方程:,(1),(2),球函数方程,方程（2）进一步分离变量将得到关于的本征值方程（3）和关于的连带勒让德方程（4）：,变 量 分 离,R(r)：,满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解:,：,：,(cos-1x)=y(x)：即：x=cos,l阶连带勒让德方程,连带勒让德多项式,勒让德(Legendre)函数,Page 12,勒让德(Legendre)函数,勒让德(Legendre)函数：,连带勒让德(Legendre)函数：,Page 13,勒让德(Legendre)函数,求勒让德(Legendre)函数的Matlab函数legendre(N,x)求所有N阶连带勒让德函数
7、的值,legendre(2,0.0:0.1:0.2)ans=-0.5000-0.4850-0.4400 0-0.2985-0.5879 3.0000 2.9700 2.8800,Page 14,勒让德(Legendre)函数,绘制前6个勒让德(Legendre)函数的图形,%P20_1.mx=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,
8、:),x,y5(1,:),x,y6(1,:);legend(P_10,P_20,P_30,P_40,P_50,P_60);title(勒让德多项式),(m=0,l=1,2,6),Page 15,勒让德(Legendre)函数,前6个勒让德(Legendre)函数的图形,Page 16,勒让德(Legendre)函数,绘制以俯仰角为变量的勒让德函数,%P22_1.mt=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(1,cos(t);rho2=legendre(2,cos(t);rho3=legendre(3,cos(t);subplot(3,4,1);polar(t,rho1(1,:);su
9、bplot(3,4,2);polar(t,rho1(2,:);subplot(3,4,5);polar(t,rho2(1,:);subplot(3,4,6);polar(t,rho2(2,:);subplot(3,4,7);polar(t,rho2(3,:);subplot(3,4,9);polar(t,rho3(1,:);subplot(3,4,10);polar(t,rho3(2,:);subplot(3,4,11);polar(t,rho3(3,:);subplot(3,4,12);polar(t,rho3(4,:);,Page 17,勒让德(Legendre)函数,以俯仰角为变量的勒让
10、德函数图形,Page 18,球函数,问题来由：求解球谐方程：,球函数：,归一化系数：,球函数,归一化的球函数：前四个球函数：,Page 19,Page 20,球函数,球函数的表达式和特点复数形式的球函数表达式：球函数的特点：球函数是在球面上的二元函数球函数的图形是空间图形，必须指定球的半径,根据欧拉公式：线性独立的l阶球函数共有2l+1个，m=0，Pl(cos)；m=1,2,l,各有两个球函数 和,Page 21,球函数,球函数的图形绘制方法：对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图,Page 22,球函数,%P81_1.ml=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;thet
11、a0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;phi,theta=meshgrid(phi,theta0);%构建,数据网路Ymn=legendre(l,cos(theta0);%计算了勒让德多项式的值Ymn=Ymn(m+1,:);L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);%实球谐函数Imyy=yy.*sin(m*phi);%虚球谐函数ReM=max(max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Re
12、r.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);%球坐标系subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);%绘制实球谐函数三维图像 light;lighting phong;axis(square);axis(-5 5-5 5-5 5);axis(off);view(40,30)title(实球谐函数);,Page 23,球函数,ImM=max(max(abs(Imyy);Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0);Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz
13、=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lighting phong;axis(square);axis(-5 5-5 5-5 5);axis(off);view(40,30)title(虚球谐函数);,球函数,Page 24,实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形,Page 25,球函数,球函数,Page 26,可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应方向上的数值,Page 27,贝塞尔方程的解-贝塞尔函数,典型实例：求解固定边界的圆膜二维振动:,v阶贝塞尔方程,二维极坐标系下分离变量,变量代换,贝塞尔方程的解-贝塞尔函数
14、,v阶贝塞尔方程的通解通常有下列3种形式：,Page 28,Jv(x)、Nv(x)、Hv(x)分别为为v阶第一类、第二类、第三类、贝塞尔(柱)函数。,Page 29,贝塞尔方程的解-贝塞尔函数,Jv(x)为v阶第一类贝塞尔(柱)函数（简称贝塞尔函数）,Nv(x)为v阶第二类贝塞尔(柱)函数（又称诺依曼函数）,（1）当(整数)时，贝塞尔方程的通解为：,（A和B为任意常数）,*当 v=n(整数)时,J-n(x)=(-1)n Jn(x),J-n(x)与Jn(x)线性相关。因此必有。,（2）当 取任意值时，贝塞尔方程的通解为：,*当 v是否为整数，上式都成立。,Page 30,贝塞尔方程的解-贝塞尔函
15、数,（3）当 取任意值时，由第一类和第二类还可以构成线性独立的第三类贝塞尔(柱)函数Hv(x)，(又称汉克尔函数),和 分别称为第一种和第二种汉克尔函数。,于是贝塞尔方程的通解又可以表示为：,Page 31,贝塞尔函数,贝塞尔函数的表达式第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔方程 将贝塞尔方程的宗量x变换为虚数ix，于是得到虚宗量贝塞方程：,Page 32,贝塞尔函数,特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数,Iv(x)为v阶第一类虚宗量贝塞尔函数（第一类修正贝塞尔函数）,（1）当(整数)时，虚宗量贝塞方程的通解为：,（C和D为任意常数）,（2）当 取任意值时，定义：,Kv(x)为v阶第二类
16、虚宗量贝塞尔函数（或麦克唐纳函数，或第二类修正贝塞尔函数）,Page 33,贝塞尔函数,当v 取任意值时，虚宗量贝塞方程的通解为：贝塞尔函数的计算和图形绘制j=Besselj(nu,z)nu为阶，z为贝塞尔函数的常点（或复数变量）Besselj第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数Bessely第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数Besselh第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数Besseli第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数Besselk第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数,Page 34,贝塞尔函数的图形,绘制贝塞尔函数图形,y=besselj(0:3,(0:0.2:10);figur
17、e(1)plot(0:0.2:10),y)legend(J_0,J_1,J_2,J_3),Page 35,贝塞尔函数,寻找贝塞尔函数零点,%方法I(插值法)x=0:0.05:50;y=besselj(0,x);LD=;for k=1:length(y)-1 if y(k)*y(k+1)0 h=interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0);%插值函数 LD=LD,h;endend,%方法II(利用Matlab内建函数)j=1;LD=;y=inline(besselj(0,x),x)%直接定义函数的表达式 for k=1:16 while(besselj(0,j)*besselj(0,
18、j+1)0)j=j+1;end q=fzero(y,j);%查找一元连续函数的零点 j=j+1;LD=LD,q;k=k+1;end,Page 36,贝塞尔函数,贝塞尔函数及其零点,LD=2.4049 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711 21.2116 24.3525 27.4935 30.6346 33.7758 36.9171 40.0584 43.1998 46.3412 49.4826,Page 37,贝塞尔函数,绘制诺依曼函数的图形,y=bessely(0:1,(0:0.02:10);plot(0:0.02:10),y)legend(N_0,N_
19、1)axis(0 10-3.5 1)grid on,Page 38,贝塞尔函数,绘制虚宗量贝塞尔函数的图形,I=besseli(0:1,(0.1:0.3:3);plot(0.1:0.3:3),I)legend(I_0,I_1)axis(0 3 0 5),Page 39,贝塞尔函数,绘制虚宗量汉克尔函数的图形,K=besselk(0:1,(0.1:0.1:3);plot(0.1:0.1:3),K)legend(K_0,K_1)axis(0 3 0 10),问题由来：与时间有关的三维方程的变量分离,分解为两个常微分方程：,亥姆霍兹方程,球贝塞尔方程及其解,2.三维热传导(输运)方程,分离变量：,分
20、解为两个常微分方程,亥姆霍兹方程:,球贝塞尔方程及其解,亥姆霍兹方程在球坐标系中的变量分离,分离变量形式的解：,球贝塞尔方程及其解,分解为两个常微分方程:,(10.4.23),(10.4.24),球函数方程,球贝塞尔方程及其解,l阶球贝塞尔方程,阶的贝塞尔方程。球贝塞尔方程的解称为球贝塞尔函数。,球贝塞尔方程及其解,Page 45,球贝塞尔函数,第一类球贝塞尔函数：,第二类球贝塞尔函数（球诺依曼函数）：,第二类球贝塞尔函数（球汉克尔函数）：,球贝塞尔方程的通解为：,球贝塞尔方程的通解为：,Page 46,球贝塞尔函数,绘制球贝塞尔函数图形,x=eps:0.2:15;y1=sqrt(pi/2./
21、x).*besselj(1/2,x);y2=sqrt(pi/2./x).*besselj(3/2,x);y3=sqrt(pi/2./x).*besselj(5/2,x);y4=sqrt(pi/2./x).*besselj(7/2,x);plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)legend(j_0,j_1,j_3,j_4),Page 47,球贝塞尔函数,绘制球贝塞尔函数图形,x=0.8:0.2:15;y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x);y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x);y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x);y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x);plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)axis(1 10-0.5 0.4)legend(N_0,N_1,N_3,N_4)grid on,Page 48,本专题小结,MATLAB涉及的特殊函数函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数球贝塞尔函数,
