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1、一、问题的提出,观察上节例1,此时积分与路线无关.,观察上节例2,柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.,由于不满足,3.2 柯西积分定理,一、问题的提出,二、基本定理,四、原函数,三、复合闭路定理,由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出如下定理:,观察上节例,说明积分与路线有关,二、柯西古萨特基本定理,1、柯西积分定理单连通区域,1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明,黎曼证明,且满足CR方程：,由格林公式：,定理又称为柯西古萨特定理.,内连续”的假设，发表上述定理新的
2、证明方法因此，,1900年,法国数学家古萨（Goursat）免去“在D,解析函数在单连通域内的积分与路线无关,由定理得,即：,如图，,则,关于定理的说明:,(1)如果曲线 C 是区域 的边界,(2)如果曲线 C 是区域 的边界,定理仍成立.,例1,解,根据柯西古萨定理,有,说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂,例2,解,根据柯西古萨定理得,都在曲线,三、复合闭路定理,1.闭路变形原理,（闭路变形原理）,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明:在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点.,从而有,推导过程：,那么,即：复变函数沿多连通区域
3、外边界线逆时针方向的积分等于沿所有内边界线逆时针方向的积分之和。,2.复合闭路定理,多连通区域的柯西定理,例3,解,圆环域的边界线构成一条复合闭路,根据复合闭路定理,例4,解,由闭路变形原理,此结论非常重要,用起来很方便,因为C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.,重要积分公式,解（方法一）,依题意知,例5,由上例的结论，,（方法二）,根据复合闭路定理,分割包围!,柯西积分定理,重要积分公式,柯西积分定理,重要积分公式,四、原函数,由柯西积分定理，,1.变上限的积分:,解析函数在单连通域内的积分与路线无关,则,2、定理一,3、原函数之间的关系:,它就有无穷多个原函数,那么
4、,其全体原函数可表示为,4、定理二,(复积分的Newton-Leibnitz公式),例6,解,例7,解,例8,解,使用:“分部积分法”,课堂练习,答案,小结与思考,1.通过本课学习,重点掌握柯西积分定理:,并注意定理成立的条件.,2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.,常用结论:,3.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿莱布尼兹公式.在学习中应注意与高等数学中相关内容相结合,更好的理解本课内容.,1.应用柯西古萨定理应注意什么?,2.解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,思考题,思考题答案,1.应用柯西古萨定理应注意什么?,(1)注意定理的条件“单连通域内处处解析”.,(2)注意定理的不能反过来用.,2.解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,两者的说法和结果是类似的.,两者对函数的要求差异很大.,Goursat,Born:21 May 1858 in Lanzac,Lot,FranceDied:25 Nov 1936 in Paris,France,古萨特资料,作业：,P46,3.3(2)、(4)、(6),3.5,
