大学物理第三章动量与角动量.ppt

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1、1,第三章 动量与角动量,（Momentum and Angular Momentum）,教学要求:1)理解动量,冲量,角动量的概念及它们的矢量性.2)掌握及应用动量定理,动量守恒定律以及质点的角动 量守恒定律来计算力学问题.3)理解质心的概念,了解质心运动定理.,2,3.1 冲量与动量定理,牛顿定律是瞬时的规律。力在任意时刻的作用，是使质点产生加速度，运动状态发生变化。,但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心力的作用按时间累积起来的总的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣。,力在时间上的积累效应：,3,1、冲量（impulse）,大小：,方向：速度变化的方

2、向,单位：Ns 量纲：MLT1,说明冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量是矢量：大小和方向；冲量是过程量，改变物体机械运动状态的原因。,定义:力对一段时间的积累,微分形式:,4,2、动量（momentum）,定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量,说明:动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同.动量表征了物体的运动状态.牛顿第二定律的另外一种表示方法,单位：kgms-1 量纲：MLT1,5,3、质点的动量定理（theorem of momentum of a particle）,物理意义:在给定的时间间隔内，外力作用在质

3、点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量.,质点动量定理的微分形式,质点动量定理的积分形式,6,说明:,6.应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间轮船靠岸时的缓冲,1.动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来,而忽略细节变化；2.碰撞或冲击过程,牛顿第二定律无法直接使用,用动量定理解；3.变质量物体的运动过程,用动量定理较方便;4.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因 素，即冲量决定的;5.动量定理的分量式.,7,应用举例:例1.,例2.问题：人为什么从高处跳到地面时，要把腿弯一下？,8,例3.“船行八面风”-帆船靠风力推动前进，只要有风

4、，不管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。,9,10,根据牛顿第三运动定律,风团对帆有一反作用力:,11,方向向上,例4.一篮球质量m=0.58kg,从h=2.0m的高度下落,到达地面后以同样速率反弹,接触地面时间。求：篮球对地面的平均冲力,解：篮球到达地面的速率为：,篮球接触地面前后动量改变（大小）为：,由动量定理有：,由牛顿第三定律有：,12,例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子,在摩擦力的作用下箱子刚好不下滑.若有一物体m从竖直方向坠入箱中,试问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止?,m,mg,N,f,F,已知s,解:箱子是否下滑,决定于物体坠入箱子时,在冲力的作用下箱子的受力是否

5、平衡.,刚好不下滑时:,当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:,代入 得 a=0,13,3.2 质点系的动量定理（theorem of mometum of a system of particles）,1、两个质点组成的系统,已知:碰撞前两质点的速度分别为,相碰时的相互作用内力为,同时受系统外其它物体的作用外力为,碰撞后两质点的速度分别为,对质点m1:,对质点m2:,14,意义:两个物体总动量的改变只决定于外力的冲量,而与内力无关.,内力的冲量呢?只会使每一个物体的动量发生改变,但对总动量没有任何影响.,15,2、多个质点组成的系统,共有N个粒子,为质点 i 受的合外力，,为质

6、点 i 受质点 j 的内力，,为质点 i 的动量。,对质点 i：,对质点系：,由牛顿第三定律有：,16,所以有：,令,则有：,或,质点系动量定理（积分形式）,意义:作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,17,系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。,用质点系动量定理处理问题可避开内力。,说明:,质点系动量定理是一矢量式,因此在直角坐标 系中它的分量式为:,18,例1：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的

7、柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx(Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,19,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力FF 即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,20,例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每秒钟落入车厢的煤为m=500kg.如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?,21,例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量为m的小球水平向右飞行,以速度(相对地面)与滑块斜面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为(相对地面)

8、.若碰撞时间为,求:在这个过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量.,22,3.3 动量守恒定律（law of conservation of momentum）,由动量定理：,当一个质点系所受的合外力为0时，则有,即有：,其分量形式：,意义:当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变。,23,说明：,1.动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。,2.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。,3.动量是矢量,因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢量关系式。但在一些实际问题中,若系统所受的合外力不为0,但合外力沿着某个坐标轴的分量为0,则尽管

9、总的动量不守恒,但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。,4.在合外力为0时,尽管质点系的总动量不变,但组成系统的各个质点的动量是可以变化的。,24,5.无论相互作用力是什么力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力、分子作用力、核子作用力)，动量守恒定律都适用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用,小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基本定律。,6.质点相互作用后,不论它们是结合在一起运动还是分开运动,不论是整体还是分裂成碎块,不论是接触作用还是超距作用,动量守恒定律都适用。,7.系统动量守恒定律的条件是合外力为0,但在某些外力比内力小得多的情况下,外力对质点系的总动量变化影响很小

10、,这时可以近似地认为它满足守恒条件,即可以近似地应用动量守恒定律来解题了。,25,解题步骤：1选好系统，分析要研究的物理过程；2进行受力分析，判断守恒条件；3确定系统的初动量与末动量；4建立坐标系，列方程求解；5必要时进行讨论。,26,例1:一个有1/4圆弧滑槽的大物体,质量为M,停在光滑的水平面上;另有一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止滑下.求当小物体滑到底时大物体M在水平面上移动的距离.,27,例2:水平光滑铁轨上有一车,长度为l,质量为m2，车的一端有一人(包括所骑自行车)，质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？,28,解：以人、车为系统，

11、在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有 m1v1-m2v2=0 即 v2=m1v1/m2,在这段时间内人相对于地面的位移为,小车相对于地面的位移为,设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有,人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2,29,例3:在一次 粒子散射过程中，粒子(m)和静止的氧原子核(M)发生碰撞。实验测出：碰撞后 粒子沿与入射方向成 的方向运动,而氧原子核沿与 粒子的入射方向成 的方向反冲，求 粒子碰撞后与碰撞前的速率之比？,30,3.4变质量系统、火箭飞行原理,粘附 主体的质量增加（如滚雪球）抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,低速（v

12、c）情况下的两类变质量问题：,下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。,还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改变 m=m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。,31,条件：燃料相对箭体以恒速u 喷出,一.火箭不受外力情形（在自由空间飞行）,1.火箭的速度公式,系统：火箭壳体+尚存燃料,32,初态(喷出燃料前)：系统质量 M，速度v(对地)，动量 M v,微过程：t t+dt,末态(喷出燃料后)：,喷出燃料的质量：dm=-dM,喷出燃料速度(对地)：v-u,火箭壳体+尚存燃料的质量：M-dm,火箭壳体+尚存燃料的速度(对地)：v+d v,系统动

13、量：(M-dm)(v+d v)+-dM(v-u),33,由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v),经整理得：Mdv=-udM,速度公式：,此式意义:火箭在燃料燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比,也和火箭的始末质量比的自然对数成正比.,34,引入火箭质量比：,得,讨论：提高 vf 的途径(1)提高 u（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大 N（受一定限制,决定于火 箭本身的结构）,为提高N，采用多级火箭（一般为三级）,v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3,或 齐奥尔科夫斯基数,35,t+dt时刻：速度 v-u，动量 dm(v-u),由动量定理，dt内

14、喷出气体所受冲量,2.火箭所受的反推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻：速度v(和主体速度相同)，动量 vdm,F箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt,由此得火箭所受燃气的反推力为,意义:火箭受到的推力与燃料的燃烧速率成正比,也与喷出 气体相对火箭的速率成正比.,36,二.重力场中的火箭发射,可得 t 时刻火箭的速度：,忽略地面附近重力加速度 g 的变化，,Mt：t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量,思考题:“喷气飞机所以能飞行,是因为喷出的气体推空气,而空气给喷出气体以反作用力,从而推动飞机前进.”这种说法对吗?,37,3.5 质心及质心运动定理,一.质心(center of m

15、ass)-为便于研究质点系总体运动,用数学公式定义某一质点系的质心 C 的位矢为：,说明:质心位置是质点位置以质 量为权重的平均值。,写成分量式为:,38,二.几种系统的质心,1)两质点系统,m1 r1=m2 r2,2)连续体,重心-一个物体各部分所受重力的合作用点。,4)小线度物体(其上各处 相等)的质心和重心是重合的。,39,例1:如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。,解：由对称性分析，质心C应在x轴上。,令 为质量的面密度，则质心坐标为：,40,例2：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。,41,例3:一段均匀铁丝弯成半圆形,其半径为R,求此半圆形铁丝的质心。,解：半圆关于y轴对称，

16、质心即在y轴上。任取dl长的一段铁丝，其质量为dm，则：,42,三.质心运动定理（theorem of motion of center of mass）,质点系的总动量,是质点系的“平均”速度,意义:质点系的总动量等于它的总质量与质心的运 动速度的乘积。,43,质心运动定理,有,问：球往哪边移动？,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓“物体”的运动，实际上是物体质心的运动。,思考,质点系所受合外力：,答：沿拉动纸的方向移动,44,在光滑水平面上滑动的扳手，其质心做匀速直线运动,做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但其质心仍做抛物

17、线运动,爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动,例如：,说明：,1.系统内力不会影响质心的运动，时,高台跳水,45,2.动量守恒与质心的运动,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,动量守恒定律的另一种表述：当一质点系所受的合外力为零时，其质心速度不变。,46,例1：一质量m2=50kg的人站在一条m1=200kg，长度l=4m的船的船头上，开始时静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。,47,解：把船和人视为同一系统,则人对船或船对人的各种作用力都是内力.在水平方向上没有外力,则质心的水平速度不变,原来静止,则依然静止,即质心的坐标不变。,人行走后：,初始状态：,又由图可知：,48,例

18、2：设有一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片竖直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二块碎片落地点在何处？,解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，设m1和m2为两个碎片的质量，且m1=m2=m；x1和x2为两块碎片落地点距原点的距离，xc为弹丸质心距坐标原点的距离。有假设可知x1=0，于是,由于x1=0，m1=m2=m，由上式可得,即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一块碎片水平距离的两倍。,49,1.质心系,

19、质心系是固结在质心上的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动,各质点相对于质心的运动 在质心系中考察质点系的运动。,50,2.质心系的基本特征,质心系是零动量参考系。,（质心系中看两粒子碰撞）,两质点系统在其质心系中，总是具有等值、反向的动量。,51,3.6 质点的角动量 角动量守恒定律,一.质点的角动量（angular momentum of a particle）,单位：kg m2/s,大小：,方向：右手螺旋法则,决定的平面,定义：任取一点o,建立坐标系oxyz，设质点A的质 量为m，速度为，矢

20、径为，则质点A 对o点的角动量为：,52,角动量与参考点O的选择有关同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的,注意：,质点作匀速率圆周运动时，对 圆心的角动量的大小为：,方向圆面不变。,L=mvR，,例1：,53,例2：同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。,方向变化,方向竖直向上不变,54,例3：根据玻尔假设,氢原子内电子绕核运动的角动量只可能是 的整数倍。(h=6.63*10-34kgm2/s)已知电子圆形轨道的最小半径为r=0.529*10-10m，求此轨道上运动时电子的速率。,解:h是普朗克在1900年研究黑体问题时所提出的一个假设,称为普朗克常数(h=6.63*10

21、-34kgm2/s).到1913年,玻尔把它应用到原子结构理论中,提出了自己的原子结构模型,即玻尔假设,它包括两部分的内容:,55,1)定态假设:原子中的电子只能在一些特定的轨道上运动,因此角动量受到量子化条件的限制,必须满足,2)跃迁假设:当原子从一个定态Em跃迁到另一个定态En时,才会向外辐射电磁波:,本题中,56,例4：判断下列有关角动量的说法是否正确？1）质点系的总动量为零，总角动量一定为零。2）一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。3）一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。4）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断 改变，所以角动量的方向也随之不断改变。,57,二.质点的角动量

22、定理，力矩torque,由,有：,定义力对定点 O 的力矩为：,力的作用效果，不仅与力的大小有关、还与力的方向和力的作用点有关。力矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。,58,于是有,质点的角动量定理,或,积分,质点的角动量定理,称冲量矩,（积分形式）,（微分形式）,物理意义：质点所受合外力的力矩等于它的角动量对时间的变化率。,物理意义：质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。,59,例1:锥摆的角动量,对O点：,合力矩不为零，角动量变化。,对O点：,合力矩为零，角动量大小、方向都不变。,（合力不为零，动量改变！）,60,物理意义：若质点所受外力矩对某

23、给定点o的力矩 为零，则质点对o的角动量保持不变。(具有普遍意义，对m变的也适用）,三、质点角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of particle,由角动量定理可知，,若：,（条件),则：,或,（结论）,即：,质点角动量守恒定律,r,61,例1:角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。,62,例2:一根长为 l 的轻质杆，端部固结一小球m1，另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度,碰撞时重力和轴力都通过O，对O 力矩为零，故角动量守恒。,解：选m1（含杆）+m2为系统,解得：,有,63,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,