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1、函数、极限与连续,一、函数二、函数的极限三、函数的连续与间断,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 函数,1、函数的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数两要素：定义域和对应法则,例1、下列各组函数是否相同?为什么?,不同,不同,相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.分段函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2、,解:,故所求定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,3.函数的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)函数的单调性:,设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点 及，当 时，恒有：,(1
2、),则称函数 在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数 在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,x,o,y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)函数的有界性:,x,o,y,-1,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如 函数链:,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3、设函数,求,机动 目录 上页 下页 返回
3、结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6、,练习3、将 分解成几个简单 函数的复合.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,在定义域上可用一个式子表示的函数,称为,经过有限次四则运算和复合运,算所构成,初等函数.,可表为,故为初等函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、自变量趋于有限值时函数的极限,二、函数的极限,自变量变化过程的六种形式:
4、,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,3、无穷小与无穷大,4、两个重要极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、无穷小阶的比较,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、自变量趋向有限值时函数的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左极限:,右极限：,2）单侧极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1、,求,当,从0左右两侧趋近于0时，,的表达式不一样,须考察左右极限.,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左右极限存在但不相等,例2、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习1、设,求极限,
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、无穷小与无穷大,定理2.有限个无穷小的和还是无穷小.,定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,例：,反例：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3、,解：,“抓大头”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,例4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,例5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、两个重要极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6、求下列极限：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,5、无穷小阶的比较,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用等价无穷小:,注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法,机动 目录 上页
6、下页 返回 结束,不能滥用等价无穷小代换.,切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各个无穷小不能分别代换.,注意：,例7、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8、,错误解法：,正确解法：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9、,证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,4.试确定常数 a，b 使,练习题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见,函数,在点,三、函数的连续与间断,1、定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
7、定理1、基本初等函数在定义域内是连续的.,定理2、一切初等函数在其定义区间内都连续.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、间断点(不连续的点)分类:,第一类间断点:,及,均存在.,若,也称,若,也称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,也称,若其中有一个为振荡,也称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,特别地，,特别地，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为第二类间断点中的无穷间断点.,为第二类间断点中的振荡间断点.,为第一类间断点中的可去间断点.,例2、求下列函数的间断
8、点及其类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),为第一类中的跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:若函数在开区间上连续,则结论不一定成立.,3、闭区间上连续函数的性质,最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上,即:设,则,使,一定有最大值和最小值.,或在闭区间内有间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论：,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(介值定理):,设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,使,至少有,定理3(零点定理):,至少有一点,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3、证明方程,一个根.,在区间,内至少有,练习3、,至少有一个不超过 4 的正根.,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4、,证：,由零点定理,练习4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
