高数总复习下.ppt

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1、复习 5、无穷级数,主要考点：,1、数项级数的敛散2、幂级数求收敛域、和函数、函数的 幂级数展开,1、数项级数的审敛法,1）.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2）.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,3）.任意项级数审敛法 绝对收敛、条件收敛,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,且余项,绝对收敛的判别 利用正项级数审敛法,2、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,(1)直接展开法,利用泰勒

2、公式;,(2)间接展开法,利用幂级数性质及已知展开式的函数,常用函数的幂级数展开式,2、函数展开成幂级数,求导,当 m=1 时,求部分和式极限,3、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,复习 6、空间解析几何,主要考点：,1、概念和意义：数量积、向量积、混合积2、求平面方程、直线方程、线和面关系3、空间曲线方程、切线方程、法平面方程4、旋转曲面方程,1.数量积、向量积、混合积,（右手法则）,坐标公式P18,1.空间直线方程,一般式

3、,对称式,参数式,2、求平面方程、直线方程、线和面关系,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,3、空间曲线方程、切线方程、法平面方程,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,4、旋转曲面方程（了解）,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶

4、双曲面,椭圆锥面:,复习 7、多元函数的微分,主要考点：,1、二元函数极限的概念、主要求法；2、复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、全微；3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线；4、梯度、方向导数；5、多元函数极值、条件最值；,有,1.多元函数的极限,2.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,1、二元函数极限的概念、主要求法；,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,2、复合、隐含、高阶等多元函

5、数（组）的偏导、全微分,1.隐函数(组)存在定理（了解）,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式,2.隐函数的偏导数,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向

6、 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,4、梯度、方向导数；,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,如对二元函数,5、多元函数极值、条件极值、最值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,的某邻域内有,2.极值求解,时,具有极值,假设以上方程组的解 满足,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需

7、另行讨论.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,方法(1)代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,例如,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,方法2 拉格朗日乘数法.,复习 8、重积分,主要考点：,1、二重积分的直角、极坐标下的计算、交 换积分次序；2、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的 计算；3、立体体积、曲面面积、重心坐标,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积

8、分区域为,则,若积分区域为,则,1、二重积分的直角、极坐标下的计算,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,变量可分离.,围成;,2、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的 计算；,1、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,3、立体体积、曲面面积、重心坐标,2

9、、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,3、重心坐标,则得形心坐标：,复习 9、曲线积分与曲面积分,主要考点：,1、第一类、第二类曲线积分2、格林公式、曲线积分路径无关、原函数3、第一类、第二类曲面积分,1.对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,1.性质,(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分

10、弧段的方向!,2.对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）,2.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,2、格林公式、曲线积分路径无关、原函数,3.方法:,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,3、

11、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,定义:,1.两类曲面积分及其联系,3、对坐标的曲面积分的计算法,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类

12、似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,复习 10、常微分方程,主要考点：,1、可分离变量、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程；2、可降阶高阶方程；3、高阶线性方程解的结构；4、常系数线性微分方程；,1、可分离变量、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程,1、可分离变量,解法要点与通项表达式,分离变量，两边同除，再分别积分,方程类型,2、齐次方程,令,，即,，代入原方程得,新函数 u 关于 x 的方程,再按照1的方法分离变量,3、一阶线性方程,当,称为齐次线性方程,当,称非齐次线性方程,先求出对应齐次方程,的通解,再利用常数变易法,代入原非齐次方程，可得,4、伯努利方程,两边同

13、除,，令,，代入原方程得,新函数 z 关于 x 的方程,再利用3求解；,5、全微分（恰当）方程,式中满足,方程可写为,即求原函数,6、含积分因子的方程,式中,但,称为原方程的积分因子,找出积分因子，再按照5求解,2、可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,n 阶线性微分方程的一般形式为,3、高阶线性微分方程,对应的n 阶齐次线性微分方程为,1、二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,的特解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,故系数行列式,于是得,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,(一阶线性方程),特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为

14、,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,4、常系数齐次线性微分方程,特征方程:,推广:,代入，解得,因式分解,其中 是实数，而 是复数,得 k 个线性无关解,若特征方程含 m 重复根,m个线性无关解,原方程的通解形式为,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,5、常系数非齐次线性微分方程,1.,求曲面 在点（2,-1,1）处的切平面方程。,2.一平面过点M 与z轴，求该平面方程。,3.判断以下直线l 与平面的位置关系。,4.在平面xoy上点M,使它到三条直线 的距离的平方和最小,

15、M,N,5.求在 的极值点，并求出极大 或极小值,6.在曲面 上求一点，使它到平面 的距离最短。,7,8.交换 的积分次序。,9.计算二重积分，其中D 是由直线 x=2,y=x 及曲线 xy=1 组成。,10.确定的 值（为整数），使曲线积分,与路径无关，并求该曲线积分，其中l 为圆周上由 O(0,0)到 A(1,1)的一段弧。,11.计算,从点 O(0,0)到 点 A(1,1)，再到点 B(0,2)的折线段。,其中l 为,12.求，具有一阶连续偏导数，求,13.化三重积分 为三次积分，其中,积分区域 分别为,(1)由双曲抛物面 及平面，围成；,(2)由曲面 及平面 围成的闭区域；,(3)由曲

16、面 及平面 围成的闭区域；,(4)由曲面 围成的第,一象限的闭区域。,详细解答过程，见同济习题全解指南（下习题103）。,13.化三重积分 为三次积分，其中,积分区域 分别为,思路：,1.判断闭区域是哪上下两个曲面围成，,即,2.确定投影区域，利用上下曲面的交线,即,D,3.先对z积分（类似将立体压扁），再对,D上积分，具体看D是X型还是Y型。,(1)由双曲抛物面 及平面，围成；,(1)由双曲抛物面 及平面，围成；,方法.截面法(“先二后一”),(2)由曲面 及平面 围成的闭区域；,13.计算，其中D 是由锥面,与平面 所围成的闭区域。,详细解答过程，见同济习题全解指南（下)P118。,14.

17、利用适当坐标系求下列三重积分：,1）.计算，其中D 是由曲面,及 所围成的闭区域。（提示采用柱坐标）,2）.计算，其中 是由不等式,及 所围成的闭区域。（提示采用球坐标）,详细解答过程，见同济习题全解指南P119,详细解答过程，见同济习题全解指南P120,15.计算曲面积分，其中 为抛物面,在xoy面上方的部分。,详细解答过程，见同济习题全解指南P174,的法向量,16.计算，其中 是锥面,及平面 所围成的区域的整个边界曲面.,详细解答过程，见同济习题全解指南P175,有向曲面上的积分,上侧,下侧,曲面分别在三个坐标面上的投影区域,17.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,

18、比较格式说明 为0.,18.计算曲面积分,其中,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,原式=,原式=,级数部分：考点：1.判断绝对收敛还是条件收敛,2.幂级数的收敛区间,3.（幂）级数的和函数,微分方程：考点：具体见表格,1、在点M(5,1,2)沿点(5,1,2)到点（9,4,14)方向的方向导数是_.,2、求曲线 在 处的切线方程_和法平面方程_.,3、把 作麦克劳林级数展开_.,4、求 的收敛区间_.,注意缺项级数,以下选自历年考试：,4、设向量 则,5、过点 且垂直于平面 的直线 方程是,7、交换二重积分的积分次序,6,8、微分方程 的通解为,（48）0910年考卷

19、A,9、函数 的定义域是,10、xoz 面上的双曲线 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是,11、平面 与平面 的位置关系是,12、,13、设 则,14、微分方程 的通解为,（914）1011年考卷c,15、已知向量 则同时与 和 垂直的单位向量是,16、曲线 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是,17、曲线 在 M(1,3,4)的梯度为,18、已知 确定，则,19、已知 中D 由 所围成，则将 I 化为极坐标下的累次积分为,20、函数 在点 取极值。,21、若D是以（0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形区域，则二重积分,22、已知某二阶常系数线性齐次微分方程有2个线性无关解

20、，该微分方程为,（1522）0910年考卷B,23、将函数 展开成x的幂级数，并指出收敛域。,24、设，且，判别级数,是否收敛，若是，判断条件还是绝对收敛,（23，24）0910年考卷C,25、设，求,26、设，其中f 具有一阶连续偏导数,求,27、设，求,（2527）0910年考卷B,28、设，有连续二阶偏导数,求,28，0910年考卷c,29、已知,其中z有连续二阶偏导数,求,30、已知,求,30、设 是由方程 所确定的二元函数，求dz,32、求曲面 在某点处的切平面方程，使得该切平面平行于平面,31、设 求,33、求旋转抛物面 在点（2,1,4）处的切平面方程及法线方程。,34、求函数

21、的极值,35、计算由曲面的极值 与xoy 面围成的立体体积。,36、其中D 是由 与 所围成的闭区域。,37、其中D 是由中心在原点，半径为a 的圆周围成的闭区域。,38、其中 是三个坐标面和平面所围成的区域。,39、计算，其中D 是由以及 x 轴所围成的平面闭区域。,39、计算，其中 是由所围成的闭区域。,40、计算，其中 L 为连接点(0,0)与点(2,1)的直线段。,41、计算，其中 L 为正向圆周,42、计算，其中 S 为上半球面（R 0）的上侧。,43、计算曲线积分，其中 L是圆周的上半部分。,44、求锥面 被柱面 所割下部分的面积。,45、计算 其中 由,所围成。,45、计算曲线积

22、分 其中L为从点(a,0)经上半圆周 到点(0,0)的一段弧。,46、计算积分，其中 D 为,47、计算，其中 D 为,在第一象限的部分。,45、计算 其中 L 为,(1)抛物线 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,(2)抛物线 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,(3)有向折线OAB,这里O,A,B依次是点(0,0),(1,0),(1,1).,46、求微分方程 的通解。,47、求微分方程 的通解。,48、求下列微分方程 的通解。,49、求微分方程 的通解。,50、求微分方程 的通解。,51、已知平面区域,L,为 D 的正向边界，试证：,52、设曲线积分 与路径无关，其中 连续可导，且，计算,53、设 具有连续二阶导数,且 试,确定，使得 为,全微分方程，并求出该方程的通解。,54.设，求,55.设，求,56.求曲面 在 处的切平面方程。,练习题：,57.计算,以上均为0810年的考卷,2,3,_,