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第五节 函数的幂级数展开式的应用,一、近似计算,二、计算定积分,三、求数项级数的和,四、欧拉公式,五、小结 思考题,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,例1,解,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成,为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,余和:,例2,解,其误差不超过.,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,2.阿贝尔法(构造幂级数法):,(逐项积分、逐项求导),例4,解,例5,解,四、欧拉公式,复数项级数:,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.,五、小结,、近似计算,求不可积类函数的定积分，,、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍),求数项级数的和，欧拉公式的证明；,思考题,利用幂级数展开式,求极限,思考题解答,将上两式代入,原式=,练 习 题,练习题答案,
