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1、1 连续性概念 2 连续函数的性质 3 闭区间上连续函数的性质,第四章 函数的连续性,1 连续性概念,第四章 函数的连续性,解：,1、,2、,(1,2),从图象上看，在 处“连续”，在 处“间断”。,图象：,图象：,函数的连续性,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量,在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,函数的增量,函数的改变量（增量）,设有函数，在函数定义域内，当 从变到 时，函数 相应地从 变到 称为函数 在 处的改变量（增量）。,当变量 由初值 变到终值 时，称终
2、值与初值的差 为变量 的改变量（增量），记为，即,一、函数连续性的概念,那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。,2、函数在一点处的连续性,定义 如果,（1）函数 在 处及其近旁有定义；,（2）存在；,（3）,提示:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),2、函数在一点处的连续性,讨论:如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e,提示:,2、函数在一点处的连续性,左连续与右连续,结论,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,2、函数在一点处的连续
3、性,（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果（或），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。,（1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，称函数 在 内连续。,3、函数在区间上的连续性,如果 在开区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在闭区间 上连续。,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。,函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的,这是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,3、函数在区间上的连续性,例1、设，求
4、适合下列条件的函数的改变量（增量）。（1）由1变到1.2（2）由1变到0.8（3）由1变到,（2）,（3）,解：,（1）,练习1、求函数，当，时的改变量。,解：的初值为1，终值为1.5,解：根据定义的三个步骤进行验证：,（1）的定义域是，故 在 及其附近有定义，;,（2）,所以,（3）,因此 在 处连续。,符合定义的三个步骤。,（2）,（3）,所以 时，在 处连续。,解：由定义的三个步骤进行验证：,（1）,1,-1,x,y,0,二、函数的间断点,如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。,由函数 在 处连续的定义知，当函数有下列三种情形之一时，函数
5、 在 处间断。,定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。,通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点,间断点的类型,注:,不相等者称为跳跃间断点,注:,无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,例如：,（1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。,(3),函数，在 处有定义，且，但所以 是该函数的间断点。,间断点举例,例1,例2,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数
6、的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,间断点举例,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点,例3,间断点举例,所以x=1是函数f(x)的间断点,如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点,例4,间断点举例,因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点,例5,间断点举例,例4 已知函数 问函数 有无间断点。,解：点 处可能间断，分三步验证。,（1）在 及其附近有定义，且,（2）,不存在,所以，函数 在 处
7、间断。,三、初等函数的连续性,1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，有,3、分段函数只可能在分段点处间断。,例5 求,解：设 因为 是初等函数，其定义域为，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，,练习3,讨论下列函数在给定点处的连续性。,（1）在 处,（2）在 处,解：，,解：,所以，在 处连续,所以，不存在，在 处间断。,求下列 函数的间断点,（3）,（4）,解：为初等函数，在定义域内连续，定义域为 间断点为,解：不是初等函数，分段点 且,因为 所以，在 处间断。,（5）求极限,解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为
8、所以，,小结,(1),函数的连续性;,(3),函数的间断点;,(2),函数左连续与右连续;,(4),初等函数的连续性.,作业,P73:2,3,4,5,6,7.,2 连续函数的性质,第四章 函数的连续性,定理1,(局部有界性),定理2,(局部保号性),一、连续函数的性质,定理3,例1 因为sin x和cos x都在区间(-+)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,(连续函数四则运算法则),定理4,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数
9、xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,例2,同样 y=arccos x 在区间-1 1上是连续的 y=arctan x 在区间(-+)内是连续的 y=arccot x 在区间(-+)内是连续的,(反函数的连续性),反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,定理4,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=a
10、rcsin x 在区间-1 1上也是连续的,例2,(反函数的连续性),注:,(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理,提示:,定理5,例3,解,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,(复合函数的连续性),设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续,定理5,定理5,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,(复合函数的连续性),(复合函数的连续性),sin u 当-u+时是连续的,例4,解,内是连续的
11、,二、初等函数的连续性,结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,注:所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间,例6,例5,解,解,利用连续性求极限举例,例7,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t)x0时t0 于是,利用连续性求极限举例,例8 求,解：设 因为 是初等函数，其定义域为，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，,例9 求极限,解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为 所以，,小结,(1),连续函数的局部有界性;,(3),四则运算法则;,(2),局部保号性;,(6),初等函数的连续性.,作业,P80:1,2,3,4,5
12、,6,7.,(4),反函数的连续性;,(5),复合函数的连续性;,3 闭区间连续函数的性质,第四章 函数的连续性,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0,函数y=sgn x 在区间(-+)内有最大值1和最小值-1 但在开区间(0+)内 它的最大值和最小值都是1,最大值与最小值举例:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在
13、区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),说明:,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点x2a b
14、使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又如 如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和
15、最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,二、零点定理与介值定理,注:如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
16、在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(
17、a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,小结,(1),最大值与最小值定理;,(3),零点定理;,(2),有界性定理;,(4),介值定理.,作业,P81:9,10,12,13,14,15,17,18.,
