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1、11.3,11.3.1 正项级数及其收敛性判别法,常数项级数的收敛性判别法则,第十一章,11.3.2 交错级数及其收敛性判别定理,11.3.3 绝对收敛与条件收敛,11.3.1 正项级数及其收敛性判别法,若,定理 11.4.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,则称,为正项级数.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,单调递增,收敛,也收敛.,故有 界.,都有,定理11.5(比较判别法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示弱级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),
2、因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,2)若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,后一为几何级数,公比为,该级数收敛.,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,调和级
3、数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,比较判别法的极限形式,则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理11.6.比值判别法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当
4、,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,例5.判别下列级数,的敛散性.,解:(1),根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),根据定理4可知:,例6.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散.,说明:,例7.讨论级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛。,机动 目录 上页 下页 返
5、回 结束,解:,故原级数收敛。,例8.研究级数,的敛散性,所以级数是收敛的。,解.由于,内容小结,2.判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P263 1(2),(3),(4),(6);2(4),(6);3(1),(2),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.判别级数的敛散性
6、:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,11.3.2、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理1.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,例1 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如
7、：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理11.9 绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,
