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1、正项级数敛散性的判定研究学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学研 究 方 向 数学分析 学 生 姓 名 学 号 指导教师姓名 指导教师职称 教授 2009 年 5 月 25 日 正项级数敛散性的判定研究 (淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000) 摘 要本文讨论了四种常用的判定正项级数敛散性的方法。在充分了解正项级数定义以及基本性质的理论基础上，对当前已经运用于正项级数敛散性判定的多种多样的方法进行筛选，选定四种方法进行详细的介绍与探究。其中包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法，在介绍了各种方法的基本理论与操作步骤后，在文章的末尾还介绍了两个级数收敛性及其它领域（速度）有
2、关例子，使我们对正项级数敛散性的判定更加熟练。关键词:正项级数，比式判别法，根式判别法，积分判别法Study on Convergence and Divergence of Positive Term Series Yang ang(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University，Huaibei，235000) AbstractThis paper having discussed that four common methods about convergence and dispersion of positive se
3、ries .Series of positive terms in the full understanding of the properties of the definition and basic theory, based on the current series of positive terms have been applied to determine the convergence and divergence of a wide range of methods of selection, four methods selected for detailed prese
4、ntation and exploration. Including ratio judging method, root-value judging method and integral test, introduced various methods in the basic theory and operation of steps, in the end of the article also describes the convergence of the two series, and other areas ( speed) case, allows us to positiv
5、e series for convergence of the judge is more skilled.Key words: positive term series , ratio judging method, root-value judging method, integral test目录引言1一.正项级数的定义2二.正项级数收敛性的一般判别原则2三.比较判别法3四.比式判别法6五.根式判别法8六.积分判别法10结论11参考文献15致谢16引言级数理论的意义：1.是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。
6、我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类；有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。当然，能表示成幂级数
7、的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。2.数列与数项级数的关系数列逐项累加起来的式子称为级数。或者说，数列逐项累加的极限形式称为级数。若定义级数的前n项部分和为Sn，则逐项累加的极
8、限S如果存在，则称级数收敛，否则称为发散。数项级数的敛散性是用部分和数列的敛散性来定义的。所以数列极限的理论移植过来，就可以建立数项级数的一般理论。由于级数是在有限项相加的基础上施行的极限运算，从而确切地定义了无限项相加，形成了这种特殊的形式，所以它有着比数列极限更独特的性质和意义。3.函数项级数一致收敛的作用如果我们把有限个函数相加称为有限和，那么函数项级数就可称为无限和，在有限和的情形下，连续函数的和函数仍然连续，但在无限和的情形下，连续函数的和函数却不一定连续。类似的，在有限和的情形下，逐项积分与逐项微分是成立的，但在无限和的情形下，却不一定成立。为保证以上运算，在无限和的情形下成立，仅
9、有收敛是不够的，因此引进了函数项级数的一致收敛性的理论。函数项级数在一致收敛的条件下，可实现函数项级数和函数的连续、逐项积分与逐项微分。4.傅立叶级数研究的基本问题最早的三角级数展开是由于解偏微分方程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著热的解析理论中予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现代数学的发展，都深具影响一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数。一.正项级数的定义若级数中各项都是非负的( 即)，则称该级数为正项级数。由正数和零构成的级数
10、称为正项级数。二.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。定理1 正项级数收敛部分和数列有界。证明：由于对，故是递增的，因此，有 收敛收敛有界。定理2（比较原则） 设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有，则 （1）若级数收敛，则级数也收敛； （2）若级数发散，则级数也发散。证明：由定义及定理1即可得。比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法。对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛
11、性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断。只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法。至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等。要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式。使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难。下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性。 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合与有公因式且 存在或等于无穷大的情形
12、。 根值判别法（柯西判别法）：适合中含有表达式的次幂，且 或等于的情形。积分判别法：对于正项级数，如果可看作由一个在上单调减少函数所产生，即有。则可用积分判别法来判定正项级数的敛散性。三.比较判别法对于两个正项级数，若(n=1,2,3)，c 是大于零的常数，那么，收敛收敛，发散发散。证明 设=+，=+因为，若收敛有界有界收敛；若发散无界无界发散例1、断调和级数的敛散性。解 因为 可以按如下加括号，得，级数而上述加括号后的级数的各项大于级数的对应项，又后一级数是发散的，所以原调和级数是发散的。例2 、判断级数的敛散性。解 因为而等比级数是收敛的，且=2，所以是收敛的。例3 、察的收敛性。解：由于
13、当时，有，因正项级数收敛，故收敛。推论（比较判别法的极限形式） 设 和是两个正项级数，若 ，则 （i） 当时，级数、同时收敛或同时发散； （ii）当且级数收敛时，级数也收敛； （iii）当且发散时，级数也发散。证明：由，对任给正数,存在某正数,当时，恒有N时，有 或 .于是由比较原则知道，若级数发散，则级数也发散。例4、级数的发散性，可知级数是发散的。 增加例题：级数=是发散的。为根据推论以及调和级数发散，所以级数也发散。四.比式判别法定理3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设为正项级数，且存在某个正整数及常数：（1）若对，有 ，则级数收敛 ；（2）若对，有 ，则级数发散。证明：（1）不妨设
14、对一切，有成立，于是，有 ，。故 ， 即 ，由于，当时，级数收敛，由比较原则，可知级数收敛。 （2）因此时，故级数发散。推论（比式判别法的极限形式） 设为正项级数，且 ，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。证明：由比式判别法和极限定义即可得。例5、讨论级数 的收敛性。由于根据上述推论级数是收敛的。例6、 讨论级数的收敛性。解 因为 根据推论，当时级数收敛；当时级数发散；而当时，所考察的级数是,它显然也是发散的。 若(9)中，这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的。如级数和,它们的比式极限都是
15、但是收敛的(例4)，而却是发散的。若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别。推论2 设为正项级数。(i)若，则级数收敛； (ii) 若，则级数发散。例7、研究级数 (10)的敛散性，其中。 解 由于 故有于是，当时，级数(10)收敛；当时，级数(10)发散；但当，比式判别法无法判断级数(10)的敛散性。五.根式判别法定理4（柯西判别法，或称根式判别法） 设为正项级数，且存在某个正整数及正常数，（1）若对，有 ，则级数收敛；（2）若对，有 ，则级数发散。证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且 ，则 （1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发
16、散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。例8、 讨论级数 的敛散性。解：由于 所以级数是收敛的。若在(13)式中=1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断例如，对都有 但是收敛的，而却是发散的。若(13)式的极限不存在，则可根据根式的上极限来判断。推论2 设为正项级数，且 则当（i）1时级数发散。本推论的证明可仿照推论1的证法进行。增加例题考察级数其中。解 由于 及 因此级数是收敛的。但若应用比式判别法，则由于 ， 则无法应用定理12.7推论2判断其收敛性。 我们知道，若 则必有 这说明凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说，根式判别法较之比式判别
17、法更有效。例如，级数由于 故由比式判别法无法鉴别此级数的收敛性。但应用根式判别法来考察这个级数（例7），可知此级数是收敛的。说明：因 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。六.积分判别法特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理4 设为上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。证明：由假设为上非负减函数，则对任何正数A，在1，A上可积，从而有 ，依次相加，得 若反常积分收敛，则对，有 。于是，知 级数 收敛。反之，若级数收敛，则对任意正整数，有
18、 。又因为上非负减函数，故对任何，有 , 。故知，反常积分收敛。同理可证它们同时发散。例9、讨论下列级数（1） ，（2）， （3） 的敛散性。解 （1）函数，当时在上是非负减函数。知道反常积分在时收敛，时发散故由定理4得去当时收敛，当时发散。至于的情形，则可由定理12.1推论知道它也是发散的。（2）研究反常积分，由于当时收敛，时发散；根据定理4知级数(2)在时收敛，时发散。对于(3)，考察反常积分，同样可推得级数(3)在时收敛，在时发散。 结论比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数收敛，且满足，则收敛；如果正项级数发散，且满足，则发散；比较审敛法只适用
19、于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数是解题的关键。几何级数和p-级数常用来充当比较审敛法中的级数。例10、证明级数是收敛的。证由于，所以，而级数为p=2 的p-级数且收敛，故由比较审敛法，级数是收敛的。例11、判别下列级数的敛散性。分析这是一个典型的例题，通项是关于的一个有理分式。应注意分母和分子中的最高幂次之差，通项为关于的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为，故应和p=1的p-级数做比较。解，而级数与有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数是收敛的。在例中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极
20、限形式。比较审敛法的极限形式设和为两个正项级数，如果()，则级数和有相同的敛散性。如果正项级数发散，且满足，则发散；例12、判别级数的敛散性。解因为，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。如果不用比较审敛法的极限形式，例中的级数敛散性的判别较为困难。例13、用比较审敛法的极限形式判别例中的级数的敛散性。解因为，故由比较审敛法得知此级数收敛。比值审敛法设正项级数的后项与前项的比值的极限等于：，(3)则当时级数收敛；时级数发散。例14、判别级数的敛散性。解因为，故，从而。由比值审敛法可知级数发散。易知，当级数的通项含有阶乘或出现在指数位置时，一般可用比值审敛法判别其敛散性。例15、判别级数的敛散
21、性。分析此级数的通项中既含有的阶乘，又含有和，所以可用比值审敛法判断其敛散性。解因为，所以从而，由比值审敛法可知，此级数收敛。当(3)中等于时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。可用其它方法判别其敛散性。根值审敛法设正项级数的通项的次方根的极限等于：，(4)则当时级数收敛；时级数发散。例16、证明级数收敛。分析当级数的通项中含有或类似的表达式时，通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。证因为()故由根值审敛法得知所给级数收敛。以上给出了正项级数的各种判别法。对于给定的正项级数，可以按照以下顺序对其敛散性进行判别：1首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。2如果通项趣于零，可根据级数
22、通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。3极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性。最后我们来看下两个级数收敛性及其它领域（速度）有关例子问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度快于自行车的速度，而汽车在自行车的后方，则显然经过时间后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间时，自行车又前进了路程。当汽车前进路程，即又经过了时，自行车又前进了路程，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。问题出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第段路程化肥的时间为，此时
23、，汽车与自行车相距路程为，汽车追赶自行车花费的时间的总和是一个无穷级数，它是一个公比的几何级数，因此，和为。所以，经过时间后，汽车就会追赶上自行车。问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了10cm长的小棒，立在地上。这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升1cm。 在孙悟空叫变时，已经爬至高1cm处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每
24、经1分钟，棒就增长10cm，即第一分钟末，高10cm，第二分钟末，高20cm，第三分钟末，高30cm，. 请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。第一分钟，蚂蚁爬过了1cm，为棒高的1/10；到第二分钟末，棒高伸长为20cm，而爬过的1cm，也变成了2cm，因而，仍是棒高的1/10且以后始终保持为棒高的1/10。如果第一分钟末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高的1/
25、20，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的1/20并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的1/20。同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高度大于棒高的1/30，. 。若棒高为，则在第分钟末，蚂蚁爬过的高度将大于。于是，问题转化为：是否存在，使得10。这当然可以做到，因为调和级数=是发散级数。参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001.5-16；2吉林大学数学系.数学分析M.北京:人民教育出版社,1978；3刘玉琏等.数学分析讲义练习题选解M.北京:高等教育出版社,1996；4洪勇.一个新的正项级数敛散性判别定理
26、及应用J.四川师范大学学报2004(3),243-247；5胡洪萍.数列与级数敛散性判别定理J.西安联合大学学报2004(5),26-29；6.菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷第二分册)M.北京:人民教育出版社,1979,48-51；7王晓敏,李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导M.长春:东北大学出版社,2005,12；8胡适耕,张显文编著.数学分析原理与方法M.北京:科学出版社,2008.5。致 谢本文的完成离不开数学科学学院张波老师的热情指导，同时数学机房的硬件设施和图书馆电子资源为课题的研究工作提供了良好的条件，另外，本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨，在此，对他们一并表示感谢！
