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1、第二章 弹性力学理论基础,第一节 基本假设和基本概念,第二节 弹性力学的基本方程,第三节 轴对称问题的基本方程,第四节 有限元的理论基础,2.1 基本假设和基本概念,基本假设：1)连续性假设，即物体内部都被组成该物体的介质所填满，没有任何空隙。这样，物体中的应力、应变、位移等量都是连续的，可以用坐标的连续函数表示。2)均匀性和各向同性假设，即物体内所有各点和所有方向上有相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随位置坐标和方向而变化。3)线弹性假设，即物体在产生变形的外加因素(外力、温度变化等)被除去以后，能完全恢复到原状而没有任何剩余变形。满足上述条件的物体，则称为理想弹性体。4)无初应力假设，即
2、物体在未受载荷或温度变化等作用之前，其内部无应力，即物体处于自然状态。5)小变形假设，即在外加因素作用下，物体的变形或位移，与物体原有尺寸相比是很微小的。根据上述基本假设而建立的弹性力学，称为线性弹性力学。,（1）弹性力学的基本假设,2.1 基本假设和基本概念,1）外力 作用于物体上的外力，按其作用方式的不同，可以分为体积力和表面力两类，两者也分别简称为体力和面力。体力：是指分布在物体体积内部的力，如物体的自重、惯性力、温度和磁吸力等。一般在物体内部各点的体力是不相同的，若将任一点P处单位体积内所作用的体力，沿着直角坐标轴x、y、z三个方向的投影，分别记为X、Y、Z，则这三个量被称为物体在该点
3、的体力分量。,（2）弹性力学的基本概念,面力：是指作用在物体表面上的力，如作用在墙梁上的均布荷载、水坝上游表面的静水压力、挡土墙的土压力和温度的对流等。作用在物体表面上各点力的大小和方向一般也是不相同的。,2.1 基本假设和基本概念,（2）弹性力学的基本概念,2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生应力。,六面体称为微元体：从物体中取出一个无限小的平行六面体，它的棱边平行于坐标轴。,将微元体每一个面上的应力分解成为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行，并称为该面的三个应力分量,2.1 基本假设和基本概念,（2）弹性力学的基本概念,2）应力,由材料力学的剪应力互等定理，六个剪应力是两
4、两相等的，即有,3）应变 单元体受力之后，要发生形状的改变。为了描述物体内某点的变形，就在该点取一个平行于坐标轴的微元体。,2.1 基本假设和基本概念,（2）弹性力学的基本概念,3）应变,物体变形以后，这三个棱边(线段)的长度及它们之间的角度改变，就作为该点的变形。,正应变(相对变形或线应变)：线段每单位长度的伸缩。剪应变：线段之间直角的改变。,这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点的形变状态。已知这六个应变，就可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间的角度改变。,2.1 基本假设和基本概念,（2）弹性力学的基本概念,4）位移,物体在受力之后或其它原因
5、(如温度改变)，其内部各点将发生位移。,弹性体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量，应变分量以及位移分量，都是随点的位置不同而不同，因而它们都是点的位置坐标的连续函数。,（3）弹性力学问题求解的基本方法,在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运动)微分方程及边界条件。,2.1 基本假设和基本概念,（3）弹性力学问题求解的基本方法,弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方程和物理方程以
6、及边界条件称为弹性力学的基本方程。,从取微元体入手，综合考虑静力(或运动)、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界(表面)条件确定解中的常数,将其中的一部份未知函数选为“基本未知函数”，先将它们求出，然后再由此求出其他的未知函数，而得到问题的全部解答。,以应力为“基本未知函数”的应力解法和以位移作为“基本未知函数”的位移解法。,在一定边界条件下，按选取的解题方法(应力法或位移法)，求出其相应微分方程组的解。,2.2 弹性力学的基本方程,（1）平衡方程,思路是：从弹性体中任一点处取出一个微元体，考虑其平衡，应用静力学的三个平衡条件，找出应力与体力的关系。,微小单元体上
7、作用有内部的体积力和四个侧面上的应力。,略去二阶及二阶以上的微量后：,同样设左面的剪应力是,右面的剪应力将是,2.2 弹性力学的基本方程,（1）平衡方程,各个面上所受的应力可以假设为均匀分布，并作用在对应面的中心。六面体所受的体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的体积的中心。,1)各力在x轴方向上的投影代数和应等于零,化简后，两边除以,2)各力在y轴方向上的投影代数和应等于零,2.2 弹性力学的基本方程,（1）平衡方程,3)各力对单元体中心的力距代数和应等于零,除以,，并略去微量项，合并相同的项后得出,超静定问题,2.2 弹性力学的基本方程,（2）几何方程,平面内的变形状态的两类物理量：,1）
8、分析各点的位移,2.2 弹性力学的基本方程,（2）几何方程,2）求正应变,根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小的。,正应变的定义有：,同理：,2.2 弹性力学的基本方程,（2）几何方程,3）求剪应变,右图线段PA的转角:,线段PB的转角:,2.2 弹性力学的基本方程,（2）几何方程,综上所述，平面问题的几何方程,分别求二阶导数有,变形协调方程或相容方程,2.2 弹性力学的基本方程,（2）几何方程,几何矩阵,位移向量,2.2 弹性力学的基本方程,（3）物理方程,物理方程或弹性方程：表示应力分量与应变分量的关系式。,在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系可根据广义虎克定律(Hoo
9、kes law)导出为：,G剪切模量，又可称为刚度模量；E拉压弹性模量，也可简称为弹性模量；u侧向收缩系数，也可称为泊松比系数。,根据弹性力学的基本假设，这些弹性常数不随应力或应变的大小而变，不随位置坐标而变，也不随方向而变。,2.2 弹性力学的基本方程,（3）物理方程,在平面应力问题中,为应力向量,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,1）平面应力问题,深梁,剪力墙,承受拉伸的钢条,承受拉伸的薄板,特征：,在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板。在受力状态上，面力都只作用在板边上，且平行于板面，并且不沿厚度变化；体力也平行于板面，并且也不沿厚度变化。,2.2 弹性力学的基本方程,（4）
10、问题讨论,1）平面应力问题,但由于板很薄，外力又不沿厚度变化，可以认为在整个薄板的所有各点都有：,剪应力互等,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,1）平面应力问题,平衡方程,几何方程,物理方程,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,挡土墙,圆柱形长管,水坝,遂道,特征：在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它们的长度要比横截面的尺寸大得很多。在受力情况下，它们都只受到平行于横截面，且沿纵向长度均布的面力和体力，有的在纵向两端还受有约束。,受压的圆柱形长辊轴,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,沿长度方向取为z轴，两端的约束可分为
11、两种情况:,第一种情况如隧道。柱形体很长，分析时可以假想该柱形体为无限长，其端点不受z方向的约束。此时，任一横截面都可以看作是对称面。,第二种情况如水坝。两端受到z方向岩层的约束，因此，两端面不能沿z轴方向移动。假想将水坝沿z轴方向，切成许多厚度相等的并在xoy平面内的薄片。,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,这些薄片的几何形状和受力情况都是相同的，所以，这些薄片的应力、应变和位移分量，都可看成是x、y的函数，而与z坐标无关。,近似地认为，柱体任一横截面上所有各点的轴向位移,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,实践证明，对于离开两端足够远处
12、的截面，按平面应变问题进行分析，其计算结果完全可以满足工程上的精度要求。,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,对于平面应变问题：,平衡方程,几何方程,物理方程,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,2）平面应变问题,平面应变问题的弹性矩阵,平面问题共有8个方程，2个边界条件，而其未知函数也是8个，联合上述8个方程，即可求出弹性力学问题的解。,3）刚体位移,刚体位移意味着物体内无任何应变，,其解的形式为,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,3）刚体位移,要使上式的第三式成立，则一定有,因此有,即刚体位移的表达式为,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论
13、,4）边界条件力边界条件,仍然满足平衡条件,弹性体边界处割取一个微元体。一个微小的三角形或三棱柱体,由平衡条件,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,4）边界条件力边界条件,平面问题静力边界条件,若弹性体处于平衡状态，则在其内部应满足平衡微分方程,同时在自由边界上应满足静力边界条件。,2.2 弹性力学的基本方程,（4）问题讨论,4）边界条件位移边界条件,对于平面问题来说，关于x和y坐标轴方向的位移边界条件可表示为：,（5）三维弹性问题的基本方程,1)平衡方程,2.2 弹性力学的基本方程,（5）三维弹性问题的基本方程,2)几何方程,3)物理方程,用应变分量表示应力分量的关系式为：,2.2
14、弹性力学的基本方程,（5）三维弹性问题的基本方程,4)边界条件,三维问题的力边界条件为,三维问题的位移边界条件为,以上共有15个方程，3个边界条件，三维弹性问题共有15个未知函数，联合上述15个方程，即可求出弹性力学问题的解。,2.3 轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外来因素，都对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、应变和位移也就对称于这一轴。,2.3 轴对称问题的基本方程,（1）平衡方程,2.3 轴对称问题的基本方程,（1）平衡方程,2.3 轴对称问题的基本方程,（1）平衡方程,2.3 轴对称问题的基本方程,（1）平衡方程
15、,2.3 轴对称问题的基本方程,（1）平衡方程,2.3 轴对称问题的基本方程,（2）几何方程,2.3 轴对称问题的基本方程,（2）几何方程,剪应力：,2.3 轴对称问题的基本方程,（2）几何方程,空间轴对称问题的几何方程为：,矩阵形式：,2.3 轴对称问题的基本方程,（3）物理方程,弹性矩阵：,空间轴对称问题共有10个未知变量，联合上述10个方程，即可求出弹性力学空间轴对称问题的解。,2.4 有限元法的理论基础,有限元法是一种离散化的数值解法，对于结构力学特性的分析而言，其理论基础是能量原理。,未知数的性质：1）以位移作为未知量的分析法，这种情况称作位移法。位移解法采用最小位能原理或虚位移原理
16、进行分析；2）应力作为未知量的分析法，称作应力法。应力解法常采用最小余能原理进行分析；3）以一部分位移和一部分应力作为未知量的分析法，称作混合法，采用修正的能量原理进行分析。,虚位移原理或最小位能原理、最小余能原理、变分原理等是有限元法的又一重要基础理论。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,1）弹性体的位移和虚位移位移,弹性体在给定的外载荷作用下，实际产生的确定位移或实位移，简称位移。它满足变形协调条件和几何边界条件，由作用在弹性体上的外载荷唯一确定。,1）弹性体的位移和虚位移虚位移,是假设的、约束条件允许的、任意的、无限小的位移。但它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。必须满
17、足变形协调条件和几何边界条件，前者限制弹性体内部的变形状态，即保证弹性体内部的连续性，后者限制弹性体边界上一些质点的位移，即在结构边界上的几何条件。与实位移的区别在于：它是在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的任意的微小的位移，它的发生与时间无关，与弹性体所受的外载荷无关。而弹性体在外载荷作用下产生的实位移是可能的虚位移，因为它也满足变形协调条件和几何边界条件。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,2）功与应变能,此功三角形OCD的面积(线弹性变力作的功)。,且在弹性范围内,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,2）功与应变能,矩阵表达式：,外载荷向量：,位移向量：,不考虑变
18、形过程中的热量损失、弹性体的动能及外界阻尼等，则外力功将全部转变为贮存于弹性体内的位能应变能。当外载荷去掉时，贮存于弹性体内的位能或应变能将使弹性体恢复原状。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,2）功与应变能,由于有：,结构的总应变能为：,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,2）功与应变能,根据力的叠加原理，得外力功贮存在微元体内的应变能为：,令,单位体积内的应变能,弹性体的总应变能为：,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,2）功与应变能,对于一般弹性体来讲，单位体积的应变能为：,则一般弹性体的总应变能为,一般弹性体的总应变能为,微元体的体积,3）外力虚功与虚应
19、变能,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,3）外力虚功与虚应变能,在平衡状态下发生虚位移时，外载荷已作用于弹性体，而且在虚位移过程中，外载荷和应力均保持不变，是恒力所作的功。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,3）外力虚功与虚应变能,在单轴情况下，图中右边画斜线的矩形面积表示虚功。,右边画斜线的矩形面积表示单位体积的虚应变能。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理,虚位移原理（虚功原理）:如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外载荷在虚位移上所作的虚功就等于弹性体的虚应变能应力在虚应变上所作的虚功，即,或,在虚位移过
20、程中，原有的外力、应力、温度及速度均保持不变，也就是说，没有热能或动能的改变。按照能量守恒原理，虚应变能的增加应当等于外力位能的减小，也就是等于外力所作的虚功。外力包括集中力、体积力和表面力，对于平面弹性体而言，上述外力的虚功为：,集中力虚功,体积力虚功,表面力虚功,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小位能原理,最小位能原理（最小势能原理）是虚位移原理的另一种形式。根据虚位移原理：,由于虚位移是微小的，在虚位移过程中，外力的大小和方向可以看成常量，只是作用点有了改变：,令弹性体的总位能,由于弹性体总位能的变化是虚位移或位移的变分引起的，给出不同的位移函数，就
21、可以求出对应于该位移函数的总位能 而使总位能最小的那个位移函数，接近于真实的位移解。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小位能原理,表示总位能对位移函数的一次变分等于零。,如果考虑二阶变分，就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值是极小值，也就是最小或极小位能原理。最小位能原理：弹性体在给定外力作用下，在满足变形协调条件和位移边界条件的所有各组位移解中，实际存在的一组位移应使总位能成为最小值。,4）弹性体的虚位移原理最小余能原理,当需要以应力作为未知函数来求解时，就要利用最小余能原理。,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小余
22、能原理,1余功和余虚功,对于简单拉伸曲线，左边画横线图形部分的面积，定义为余功记为,对于线弹性问题：,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小余能原理,2余应变能和余虚应变能,进行体积分，可得弹性体的余应变能为:,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小余能原理,2余应变能和余虚应变能,3最小余能原理,2.4 有限元法的理论基础,（1）虚位移原理,4）弹性体的虚位移原理最小余能原理,3最小余能原理,最小余能原理：在弹性体内部满足平衡条件且在边界上满足静力边界条件的应力分量中，只有同时在弹性体内部满足应力应变关系并在边界上满足边界位移条件的应力分量，才能使弹性体的总余能取极值，且可以证明，若弹性体处于稳定平衡状态，总余能为极小值。,谢谢！,
