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1、2023年11月6日星期一,1,第二节 常数项级数的审敛法,第十章,（Interrogate of constant term series）,一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,四、小结与思考练习,2023年11月6日星期一,2,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,(Interrogate of positive term series),2023年11月6日星期一,3,都有,设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则
2、弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示弱级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,定理2(比较审敛法),2023年11月6日星期一,4,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,2023年11月6日星期一,5,则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,定理3(比较审敛法的极限形式),2023年11
3、月6日星期一,6,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,2023年11月6日星期一,7,2023年11月6日星期一,8,2023年11月6日星期一,9,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,例3 讨论 p 级数,2023年11月6日星期一,10,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,2023年11月6日星期一,11,2023年11月6日星期一,12,2023年11月
4、6日星期一,13,2023年11月6日星期一,14,2023年11月6日星期一,15,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,定理4 比值审敛法(D Alembert 判别法),2023年11月6日星期一,16,因此,所以级数发散.,时,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,(2)当,2023年11月6日星期一,17,2023年11月6日星期一,18,2023年11月6日星期一,19,对任意给定的正数,设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,
5、可推出结论正确.,数,且,定理5 根值审敛法(Cauchy判别法),2023年11月6日星期一,20,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,说明:,2023年11月6日星期一,21,2023年11月6日星期一,22,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,(Interrogate of staggered series),2023年11月6日星期一,23,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,2023年11月6日星期一,24,
6、收敛,收敛,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,2023年11月6日星期一,25,三、绝对收敛与条件收敛,定义 对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,(Absolute convergence and conditional convergence),2023年11月6日星期一,26,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,定理7 绝对收敛的级数一定收敛.,2023年11月6
7、日星期一,27,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,例11 证明下列级数绝对收敛:,（补充题）,2023年11月6日星期一,28,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,（自学课本 例13、14）,2023年11月6日星期一,29,2023年11月6日星期一,30,其和分别为,*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,说明:条件收敛级数不具有这两条性质.,2023年11月6日星期一,31,内容小结,1.利用部分和数列的
8、极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,2023年11月6日星期一,32,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,3.任意项级数审敛法,2023年11月6日星期一,33,课外练习,习题102 1（1）（2）（4）；2（奇数题）；3（3）（4）（6）；4（2）（3）（5）（7）；5,思考练习,1、设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,2023年11月6日星期一,34,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,2.,
