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1、,二、比值审敛法,三、根值审敛法,2,一、比较审敛法,正项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,四、积分审敛法,定义,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示弱级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不
2、妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束,讨论级数的敛散性,解:,而,发散，,根据比较审敛法可知,级数(1)发散.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,收敛，,根据比较审敛法可知,级数(2)收敛.,例3.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时
4、,由定理2 知,收敛,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,的敛散性.,例4.(1)判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知级数收敛.,例4.(2)判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5:,判别下列级数的敛散性:,解:(1),P 0级数收敛，p0 级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数收敛.,定理4.比值审敛法(Da
5、lembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7:,判别下列级数的敛散性:,解:(1),据比值判别法,级数发散.,据比较判别法，级数收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用比值判别法可知:
6、,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,时发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意给定的正数,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.证明级数,收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9:,判别下列级数
7、的敛散性:,解:(1),据根值判别法,级数发散.,据比较判别法，级数收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),定理6.（积分判别法）,设,上是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,非负可积且递减的连续函数，记,则级数,与广义积分,的收敛性相同.,推论.,则级数,与广义积分,的收敛性相同.,例10.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义积分,时发散.,当 p 1 时收敛;p1,则p 级数,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,例11.讨论 级数,的敛散性.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义积分,时发散.,当 p 1 时收敛
8、;p1,则级数,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,目录 上页 下页 返回 结束,练习,2.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P231 1(2),(3),2(1),(3),(4),(5);3(1),(3),(5);4(3);5(3),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P221 1(1),(2)；(5)2(2)；,
