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1、,第二节常数项级数的审敛法,2,第二节 常数项级数的审敛法,一.正项级数及一般审敛法则,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,则,由于,则部分和数列,有界,故,从而,又已知,因此它有界.,则称,为正项级数.,收敛,单调递增,收敛,也收敛.,如级数,3,定理2(比较审敛法),设 和 是两个正项级数,对任意的自然数,有,(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,证:,令,则有:,收敛,也收敛;,发散,也发散.,和,分别表示级数 和级数 的,则有,部分和,由于,4,(1)若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,级数,则有,(2)若级数,因此,这说明 级数,也发散.,和
2、 是两个正项级数,也收敛.,发散,收敛,5,比较审敛法推广,设 和 是两个正项级数,且存在,对一切,有,(常数 k 0),(1)若级数,则级数,(2)若级数,则级数,则有:,收敛,也收敛;,发散,也发散.,6,证明,7,解,由图可知,8,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,9,10,11,12,定理3.(比较审敛法的极限形式),设 和 是,两个正项级数,若,则有,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 且级数 收敛时,级数 也收敛;,(3)当 且级数 发散时,级数 也发散.,证:根据极限定义,对,存在,当 时,即有,13,(1)当 时,取,由定理 2 可知级数,与,同时收敛
3、或同时发散;,(2)当 时,由定理2,可知,若级数 收敛,也收敛.,利用,(3)当 时,存在,当 时,即,由定理2可知,若级数,发散,则级数,也发散.,则级数,14,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 且级数 收敛时,级数 也收敛;,(3)当 且级数 发散时,级数 也发散.,.,15,例7.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知级数 发散.,例8.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,收敛.,16,故原级数收敛.,17,18,二.比值审敛法和根值审敛法,1.比值审敛法,定理4 设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1)
4、,当,由,取 使,收敛,收敛.,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,时,知存在,由比较审敛法可知,级数,19,或,时,必存在,当,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如 p-级数,但,级数收敛,级数发散,20,解,21,比值审敛法失效,改用比较审敛法,22,例12.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,当 时,级数收敛;,当 时,级数发散;,当 时,级数,发散.,而,23,2.根值审敛法,定理5 设,为正项级数,且,则,(1)当 时,级数收敛;,(2)当 时,级数发散.,24,时,级数可能收敛也可能发散.,例如 p-级数,说明:,但,级数收敛,
5、级数发散,25,例13.证明级数,收敛,并估计以部分和,代替和 时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,近似,26,27,三.交错级数及其审敛法,各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件,则级数,收敛,且其和,其余项的绝对值,莱布尼兹(德)16461716,28,证:,显然 是单调递增有界数列,因此有,又,故级数收敛于 S,且,的余项:,29,收敛,收敛,例15 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,30,31,四.绝对收敛与条件收敛,定
6、义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,原级数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称,原级数,条件收敛.,则称,可以证明:绝对收敛的级数一定收敛.,32,例17.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,33,例17.证明下列级数绝对收敛:,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,34,例18.下列级数是否绝对收敛:,35,36,37,38,39,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,40,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,若 收敛,称 绝对收敛,若 发散,称 条件收敛,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,41,作业11-2:P158 A组 1(1)(2)(3)(5)(6)(7);2(1)(2)(5)(6)(7);3(1)(3)(4);4(1);,
