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1、第十一章 无 穷 级 数,常数项级数,一、常数项级数定义及性质,2敛散性定义,3性质,必要性:,线性运算性质:,则级数收敛，否则级数发散。,设级数 为常数,则,设，如果 存在，,级数 收敛,1常数项级数,3常数项级数类型,正项级数,交错级数,任意项级数,常数项级数,二、判别常数项级数收敛的解题方法,若成立，则需作进一步的判别。,成立。若不成立，则可判定级数发散；,此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。,对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；,若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级
2、数条件收敛；,对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。解题方法流程图如下图所示。,对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；,解题方法流程图,Yes,判断 的敛散性,比值法,根值法,比较法,找正项收敛级数,找正项发散级数,用其它方法证明,No,No,No,Yes,为正项级数,为任意项级数,绝对收敛,一、幂级数,1幂级数的基本概念,(1)幂级数的定义：,(2)收敛半径：,或,收敛区间：,存在正数,当 幂级数收敛，当 幂级数发散，,称为幂级数的收敛半径。,函数项级数,收敛域：收敛点的全体,2幂级数和函数的性质,（1）连续性：,
3、（2）可导性：,（3）可积性：,(3)幂级数的和函数：,3幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法,解题方法流程图如下。,对于 型，令,化为 型,可得收敛域；,解题方法流程图,求幂级数收敛域,判别幂级数类型,，其它,1,2,3,4幂级数和函数的求法,求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的,幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先,积分后求导”等技巧，并利用与形如（或 等）,幂级数的和函数，求出其和函数。,解题方法流程图如下图所示。,求 的和函数,令,Yes,恒等变换直接求和,逐项积分,逐项求导,逐项求导,解题方法流程图,二、函数的泰勒级数,1泰勒级数定义：,称为 在点 的泰勒
4、级数。,2麦克劳林级数定义：,称为 的麦克劳林级数。,3将函数展开成泰勒级数(幂级数),直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶,导数，写出泰勒展开式。,间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行恒等,函数的性质（求导数或积分），将函数展,开成幂级数。,求 的幂级数展开式,关于 的幂级数,对 求导,对 积分,解题方法流程图,几个重要函数的麦克劳林展开式,三、傅里叶级数,1傅里叶级数的类型：,为 傅里叶级数，其中,称为 傅里叶系数。,（2）正弦级数：,（3）余弦级数：,2收敛定理（狄利克雷充分条件）：,设 是以 为周期的函数，如果它满足条件：,当 是 的连续点时，级数收敛于；,当 是 的
5、间断点时，收敛于。,3如何把函数展开成傅里叶级数,把给定的函数 展开成傅立叶级数，首先要判断,是否为周期函数；如果 以 为周期，那么在定义域,内，可把 展开成 为周期的傅立叶级数；,的特点（或），对 进行周期延拓、奇延拓,正弦级数或余弦级数，最后限制在定义域上。,如果 不是以 为周期的函数，则要判别 定义域,将 展开成付氏级数,确定 在 上的解析式,展成余弦级数,展成正弦级数,对 进行偶延拓,利用收敛定理标明成立范围,对 进行奇延拓,利用收敛定理标明成立范围,确定 在 上的解析式,确定 在 上的解析式,利用收敛定理标明成立范围,对 进行周期延拓,利用收敛定理标明成立范围,解题方法流程图,三、常
6、数项级数典型例题,，由定义,所以原级数收敛，且和为1。,【例1】判别级数 的收敛性，并求级数的和。,分析：此级数为正项级数，由于,因此可利用定义求。,解：由于,由级数收敛的必要条件，原级数发散。,【例2】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，因为 分别求分,子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。,解：因为,而,故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。,【例3】判别级数 的收敛性。,解法1：此级数为正项级数，,而级数 为等比级数收敛，,解法2：由比值审敛法,故由比值审敛法知原级数收敛。,由于,故转到应用比较判别法。由于,【例4】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数
7、，设,而级数 收敛，从而级数 收敛；,或将 拆成两个级数，分别判定级数的收敛性。,同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，,由于,解法1：设,而由比值法,易知级数 收敛,故由级数的比较判别法知，级数 收敛。,解法2：因为,所以，分别考虑 和 的敛散性。,对于,由比值法,知 收敛，所以，绝对收敛；,同理得 收敛，可知原级数收敛。,收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。,【例5】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数,由 的形式，利用比值,法和根值法均不合适，由于,可采用比较法。,解：此级数为正项级数，,令,注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键,问题是熟练掌握一批已知正项级数
8、的敛散性（如几何级数，,级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。,【例6】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，由于 中含有,，可用比值审敛法。,解：令,所以，原级数发散。,由比值审敛法，当 时，原级数收敛；,当 时，原级数发散。,当 时，比值审敛法失效，注意到,注：在级数一般项 中，若含有形如 的因子时，,适于使用比值审敛法。,故由根值审敛法，原级数收敛。,【例7】判断级数 的敛散性.,分析：此级数为正项级数,由于 中,解：此级数为正项级数，,注：在级数一般项 中,若含有 次方时,适于使用根值 审敛法。,含有 次方，可用根值审敛法。,【例8】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收
9、敛 还是绝对收敛？,分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。,解：此级数为交错级数，因为,而 发散,原级数非绝对收敛.,因为 为交错级数,由莱布尼玆定理,由比较审敛法知 发散,所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。,所以 在 上单增，即 单减，,故当 时，单减，,令,即原级数非绝对收敛。,【例9】*判别级数 的敛散性。,解：先考虑级数 的敛散性。,由于当 时，,而级数 发散，故级数 发散，,即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。,从而原级数条件收敛。,注：在运用莱布尼玆定理判别 时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。,因为,其中,所以 在 内单调递减，得,于是由莱布
10、尼兹判别法可得级数 收敛，,令,证明：设级数 和 的部分和分别为 和,则,没有具体表达式，只能将 看成任意项级数,所以，考虑级数收敛定义。,分析：因为题设给出了级数 收敛,但,即,由于级数 收敛,所以 存在,所以要,根据级数收敛的定义知 收敛.,证明 存在，只需要证明 存在即可.根据题中,的条件，所以，因此,函数项级数典型例题,【例1】求幂级数 的收敛半径及收敛域。,解：,当 时，级数为，该级数收敛。,当 时，级数为，该级数收敛。,故此幂级数的收敛域为。,【例2】求幂级数 的收敛域。,解：令，原级数变为,所以，即 时，幂级数收敛。,当 时，级数为，为交错级数收敛，,当 时，级数为，为P-级数发
11、散，,故此幂级数的收敛域为。,【例3】求幂级数 的收敛域。,解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法,当，即 时，级数收敛。,当，即 时，级数发散。,当 时，级数为，为交错级数收敛。,当 时，级数为，为交错级数收敛。,故此幂级数的收敛域为。,解：记,求导得,积分得,令，则,【例5】*求幂级数 在收敛区间 内的和函数。,解：令,对幂级数在区间 内逐项积分，得：,其中。,再应用逐项积分的方法得：,对 求导得,所以,对 求导得,即,解：对 进行恒等变形：,而,故,满足，即，成立区间为：,注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。,【例7】将函数 展开成 的幂级数。,分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求
12、导的,间接方法是很难 把展开成 的幂级数，所以，只能用,解：因为,而,对 先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数。,又因为，从而积分得,因为幂级数在 处收敛，,所以,所以，收敛域为。,【例8】*将函数 展开成 的幂级数。,解：,处不连续，所以函数 收敛于,傅里叶系数为,解：所给函数满足收敛定理，在,且,【例10】将 展开成傅里叶级数.,傅立叶系数为：,并求常数项级数 的和.,【例11】在 上将函数 展开为正弦级数,解：将函数 进行奇延拓，则有,函数 的正弦级数为,令,则,注：数项级数求和也可通过傅立叶级数展开式求得。,【例12】*将函数 展成余弦级数。,解：,将函数 进行偶延拓,则有,函数 的余弦函数为,
