实二次型与实对称矩阵的定性分析

1、相似矩阵及二次型知识要点,一,内容提要,向量的内积,定义设有维向量,令,称为向量,与的内积,内积满足下列运算规律,定义,称为维向量,的长度,或范数,向量长度具有下列性质,非负性,当,时,当,时,齐次性,三角不等式,向量内积满足施瓦茨不等式。

2、第六章二次型与对称矩阵,二次型及其对称矩阵在数学理论,数值计算及工程应用中都占有重要地位,1二次型及其矩阵,在解析几何中,为了便于研究二次曲线,的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换,把方程化为标准形,1,的左边是一个二次齐次多项式,从代数。

3、第六章,二次型及其标准型,6,3正定二次型与正定矩阵,6,2化二次型为标准型,6,1二次型及其矩阵表示,6,1二次型及其标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么,作旋转变换,代入,1,左边,化为,见下图,称为n维,或n元,的二次型,定义。

4、1,第5章特征值问题二次型,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用,本章本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念,性质,给出了矩阵与对角矩阵相似的条件,并对实二次型的有关内容进行了讨论,2,第5章特征值问题二次型,特征值与特征向。

5、1,二次型和对称矩阵的有定性,第三节,2,一,正定二次型正定矩阵,定义,由定义,可得以下结论,充分性是显然的,下面用反证法证必要性,代入二次型,得,3,由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要通过非退化线性变换,将其化为标准形,就容易由。

6、线性代数习题讲解,第六章 二次型,一要点复习二作业讲解三典型例题介绍,二次型,定义,矩阵表示,可逆线性变换,标准二次型,正交变换,配方法,正定二次型 正定矩阵,定义,判定,一要点复习,1. 二次型及其矩阵表示,定义6.1 含有 个变量 的二。

7、第二章矩阵,在解析几何中,为了便于研究二次曲线,把方程化为标准形,的几何性质,我们可以选择适当的坐标旋转变换,第二章矩阵,二次型的定义和矩阵表示合同矩阵,其中系数是数域中的数,叫做数域上的元二次型,简称二次型,实数域上的二次型简称实二次型。

8、对称矩阵及其性质,一个对称矩阵是一个满足AT,A的矩阵A,这种矩阵当然是方阵,它的主对角线元素是任意的,但其他元素在主对角线的两边成对出现,定理1,实对称矩阵的特征值都是实数,定理2,实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的,证假定A。

9、高等代数与矩阵分析,重庆邮电大学数理学院鲜思东,第三章内积空间,正规矩阵与矩阵,酉变换,正交变换,幂等矩阵,正交投影,变换,正规变换,标准正交基,方法,欧式空间,酉空间,矩阵,二次齐式,正定二次齐式,正定矩阵,对称与反对称变换,引理,正规矩。

10、9,1二次型和对称矩阵,定义1,设是一个数域,上元二次齐次多项式叫做上一个元二次型,简称二次型,例1,判断下列各式是否为二次型,1,式可写成以下形式,令,利用矩阵乘法,则,2,可写成,其中为对称矩阵,称为二次型的系数矩阵,简称为的矩阵,并把。

11、一,内积的定义与性质,1,定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积,记作,注,内积是向量的一种运算,用矩阵形式表示,有,性质,1,对称性,2,线性性,3,正定性,长度的概念,当,时,二,向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度,模或范数,特别。

12、第4章特征值问题和二次型,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用,本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念,性质,给出了矩阵与对角矩阵相似的条件,并对实二次型的有关内容进行了讨论,第4章目录,第4,1节特征值与特征向量第4,2节。

13、第五章习题课,一,向量内积的定义及运算规律,定义,设有维向量,记,称,为向量,与的内积,内积的运算性质,设,为维向量,为实数,则,当且仅当,时有,二,向量的长度及性质,称,为维向量,的长度,或范数,定义,令,向量的长度具有下述性质,非负性。

14、6,1二次型及其标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么,作旋转变换,代入,1,左边,化为,见下图,称为n维,或n元,的二次型,定义,含有n个变量的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行,例如,都是二次型,不是二次型,取。

15、第六章线性变换和特征值,6,1n维空间的线性变换6,2方阵的特征值和特征向量6,3相似矩阵与矩阵的对角化6,4实对称矩阵的对角化6,5二次型及其标准形6,6奇异值分解简介6,7应用实例6,8习题,6,1n维空间的线性变换,定义6,1设,Y是。

16、1,的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项,这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到,现在我们把这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。

17、1,一,二次型及其矩阵表示,1,二次型,二次型的矩阵,二次型的秩,1,二次型,二次型的矩阵,秩2,非退化线性变换3,矩阵的合同,称为二次型,1,2,我们仅讨论实二次型,实二次型,为实数,复二次型,为复数,例如,都是二次型,不是二次型,3,只。

18、第七章二次型二次型是型论的内容之一,是非线性的,二次型的研究源于解析几何中对有心二次曲线和二次曲面方程的化简,由于实二次型的讨论,可以转化为对实对称矩阵的讨论,所以将它纳入线性代数的内容,本章内容可以看作矩阵化简理论一个方面的应用,本章的重。

19、例1考虑二次型,有,称此二次型是正定二次型,相应的矩阵,为正定矩阵,例2考虑二次型,4,3二次型与对称矩阵的有定性,有,称此二次型是半正定二次型,相应的矩阵,称为半正定矩阵,例3二次型,有,称此二次型是负定二次型,相应的矩阵,为负定矩阵,例。

20、求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：,1. 解特征方程,求出对称阵 的全部不同的特征值。,3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。,2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量，,这样共可得到 个两两正交的单位特征向量,4. 。