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1、第八章课堂练习题,返回,返回,一. 单项选择题,1. n级-矩阵A()可逆的充分必要条件是 ( ).,C,(A) A()0 ;,(B) |A()|0 ;,(C) |A()|是一个非零常数;,(D) 秩(A()=n .,返回,2. 矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B的( ).,(A) 特征多项式相同;,D,(B) 最小多项式相同;,(C) 特征值相同;,(D) 特征矩阵等价.,返回,B,3. 矩阵A有一个不变因子为2+2，则下列结论正确的是 ( ).,(A) A相似于对角矩阵;,(B) A是奇异矩阵;,(C) A的初等因子都是的幂或+2的幂;,(D) A是非奇异矩阵.,(因为=0为A的一个特征
2、值.),返回,C,4. 设矩阵A的特征多项式为(+1)(-1)3，最小多项式为(+1)(-1)2，则矩阵A的初等因子组为( ).,(A) (+1)，(-1)3；,(B) (+1)，(-1)2 ；,(C) (-1)2，(-1)，(+1) ；,(D) (+1)，(-1)，(-1)，(-1).,(由条件得 d4()=(+1)(-1)2, d3()=-1,d2()=d1() =1.),返回,B,5. 对下列任意n级矩阵A相似的一定是 ( ).,(A) 可逆矩阵A和它的逆矩阵A-1；,(B) 矩阵A和它的转置矩阵AT；,(C) 矩阵A和它的伴随矩阵A*；,(D) 矩阵A和PAQ，其中P, Q是初等矩阵.
3、,(因为E-A与E-AT等价),返回,二. 填空题,1. 已知矩阵A的初等因子组为, 2, 3, -2, (-2)2, (+2)2，则A的不变因子组为 .,则A的初等因子组为 .,-1, (-1)(+1) , (-1)2(+1)2 .,2. 已知矩阵A的非常数不变因子为,d11()=(+2)2(-2)23,.,d10()=(-2)2 , d9()=, d8()=d1()=1,-1, -1, +1, (-1)2, (+1)2,返回,3. 已知矩阵A的初等因子组为, 2, (-1)2, (-1)3，则A的Jordan标准形为,.,返回,4. 设A是n级矩阵，k为整数(1kn )，使得Ak=0， A
4、k-10，则A的最后一个不变因子是 .,5. 若A是n级非零矩阵，且A2=0，则A的Jordan标准形中Jordan块的最大级数是 .,2,k,(因为A的最后一个不变因子为A的最小多项式k.),(因为A2=0，A0，所以A的最小多项式为2，从而A的最后一个不变因子为2，故A的初等因子为k，(1k2).),返回,三.设矩阵A的特征多项式为f()=(-2)3(-3)2，试写出的A的所有可能的Jordan标准形.,解 因为矩阵A的特征值为2, 2, 2, 3, 3，所以A的所有可能的Jordan标准形为,返回,返回,四.设A是n级矩阵，1是A的特征值，且A只有一个线性无关的特征向量，求A的Jorda
5、n标准形J.,解 由题意1是A的特征值，知A的特征多项式为,f () =|E-A|=(-1)n ，,又A只有一个线性无关的特征向量,则秩R(E-A)=n-1，,因此A的Jordan标准形J中只有一个Jordan块，否则秩 R(E-J)n-1，于是得,返回,五.设A是n维线性空间V的一个线性变换，且A在基下1,2, ,n的矩阵是一个Jordan块，证明；子空间 Vi=L(i,i+1, ,n) i=1,2, ,n是A-子空间,且任一A-子空间必是某一Vi(1in).,证明 由题意设A(1,2, ,n)=(1,2,n)J，其中,返回,知道 Ai=i+i+1 ， i=1,2, ,n-1,An=n .,因此 AjVi=L(i,i+1, ,n), ( j=i,i+1, ,n),故Vi是A-子空间.,设W是任一A-子空间，依顺序看1,2, ,n ， 设第一个属于W的是i(即1,2, ,i-1不属于W).,由此知 WVi.,又由 i+1=Ai-iW，n=Ai-1-n-1W.,知 ViW. 故得W=Vi 证毕.,返回,六.求n级矩阵A的Jordan标准形.,解 通过计算，易知A的最小多项式为 dn()= (-n)n ，,所以A的Jordan标准形为,
