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1、第一讲 坐标系,第一讲 坐标系,【复习与回顾 】,刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系,1、数轴 它使直线上任一点A都可以由惟一的实数x确定,【复习与回顾 】刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1,2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定,【复习与回顾 】,2、平面直角坐标系 【复习与回顾 】,3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
2、它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定,【复习与回顾 】,3、空间直角坐标系 【复习与回顾 】yxzPOPRQM,第一节 平面直角坐标系-坐标法,第一节 平面直角坐标系,【小试牛刀 】,1. 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正方形的顶点。,变式训练 如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？,【小试牛刀 】1. 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的,2. 已知A(1,1)和B(6,2)，求线段AB的垂直平分线l的方程。,【小试牛刀 】,2. 已知A(1,1)和B(6,2)，求线段AB的垂直平分线,平面内与两个定点F1，
3、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ,| |MF1| - |MF2| | = 2a2c,双曲线定义的符号表述：,复习回顾 双曲线,oF2F1M 平面内与两个定点F1，F2的距离的,x2,y2前面的系数，哪个为正，则在哪一个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹.,双曲线的标准方程,x2,y2前面的系数，哪个为正，则在哪一个轴上,实际应用,实际应用,实际应用,实际应用,直角坐标系实际应用,实际应用实际应用实际应用实际应用直角坐标系实际应用,某中心接到其正东、正
4、西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).,声响定位问题,某中心接到其正东、正西、正北方向,解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，,则 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020),设P（x, y）为巨响为生点，,由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故 ，,PO的方程为 ，,P在BC的垂直平分线PO上,y=x
5、,因A点比B点晚4s听到爆炸声，,故 .,|PA| |PB|=3404=1360,由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 上,a= , c= ,b2= .,680,1020,c2-a2=10202-6802=53402,yxBACPo解：以接报中心为原点O，以BA方向为,所以双曲线的方程为：,用y=x代入上式，得,答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心,你能总结用坐标法解决问题的步骤吗？,yxBACPo所以双曲线的方程为：用y=x代入上,解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，,则 A(1020, 0), B(1020, 0),
6、 C(0, 1020),设P（x, y）为巨响为生点，,由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故 ，,PO的方程为 ，,P在BC的垂直平分线PO上,y=x,因A点比B点晚4s听到爆炸声，,故 .,|PA| |PB|=3404=1360,由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 上,a= , c= ,b2= .,680,1020,c2-a2=10202-6802=53402,建系,设点,列式并化简,yxBACPo解：以接报中心为原点O，以BA方向为,所以双曲线的方程为：,用y=x代入上式，得,答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心,说明,yxBACPo所以双曲线的方程为：用y=
7、x代入上,解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明,坐 标 法,解决此类应用题的关键：坐 标 法,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b,解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为,A(0, 0) , B(c, 0) , F .,，,所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.,设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为
8、，,由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2，,=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0,所以,= 。,(x/2 - c, y/2)(c/2 - x, -y),因此，BE与CF互相垂直.,(x/2,y/2),(x/2-c, y/2),(c/2 - x, -y),(c/2, 0),解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。,探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比
9、较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b,练习，证明：三角形的三条高线交于一点,练习，证明：三角形的三条高线交于一点,练习，证明：三角形的三条高线交于一点,证明:如图，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高，取 ， 建立直角坐标系，,边AB所在的直线为x轴,边AB上的高CO所在的直线为y轴,设A,B,C的坐标分别为（-a,0),(b,0),(0,c)，则kAC= , kBC= .因为，所以kAD= , kBE= .由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为 。,直线BE的方程为 。由方程与 ，解得 。所以，AD,BE的
10、交点H在y轴上。因此，三角形的三条高线相交于一点,x=0,c/a,-c/b,b/c,-a/c,练习，证明：三角形的三条高线交于一点证明:如图，AD，BE，,坐 标 法,(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：,(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；,(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；,通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应注意什么？,坐 标 法(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,1、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹,解：设两定点为A,B， ， ，,A
11、B所在直线为x轴建立直角坐标系,以线段AB的中点为原点,设动点为M（x,y)，由已知得到 ，即 ，整理得 。,则A,B的坐标分别为 ， 。,所以，点M的轨迹方程为 。,（-3，0）,（3，0）,建系,求坐标,找关系式,代入坐标,化简,方程。,小试牛刀,1、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26,变形、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的和为10，求点M的轨迹方程,解：设两定点为A,B， ， ，,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,以线段AB的中点为原点,设动点为M（x,y)，由已知得到 ，根据椭圆的定义，M的轨迹是以A,B为 ，长轴长2a= 的椭圆，则c= ,a= ,b
12、= .,则A,B的坐标分别为 ， 。,所以，点M的轨迹方程为 。,（-3，0）,（3，0）,建系,求坐标,找关系式,定义判断,焦点,10,3,5,4,小试牛刀,变形、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的和为10，,变形、ABC中，若AB的长度为6，中线CD的长为4，建立适当的坐标系，求点C的轨迹方程,解： ， ，,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,以线段AB的中点为原点,设动点为C（x,y)，由已知得到 ，即 ，整理得 。,则A,B的坐标分别为 ， 。,所以，点C的轨迹方程为 。,（-3，0）,（3，0）,建系,求坐标,找关系式,代入坐标,化简,(x3),(x3),小试牛刀,变形、AB
13、C中，若AB的长度为6，中线CD的长为4，建立适,2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知BC=4，点A到定直线l的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程。,小试牛刀,2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知BC=,2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知BC=4，点A到定直线l的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程。,小试牛刀,2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知BC=,解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明,坐 标 法,课堂小结,解决此类应用题的关键：坐 标 法课堂小结,完,完
14、,例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点),使得PM= PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。,解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，,则两圆的圆心坐标分别为O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y),则PM2=PO12-MO12=,同理，PN2=,。MNOPXy 例2 圆O1与圆O2的半径都,1、点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点是（ ）A.(4,-3) B.(9/2,0) C.(-1/2,3) D.(6,-9),3、已知M(-2,-3)与N(1,
15、1)是两个定点，点P(x,3）在线段MN的垂直平分线上，则点P的横坐标x的值是（）A.-35/6 B.3/2 C.7/2 D.3,2、已知ABC的顶点A(3,-7)，B(5,2)，C(-1,0)，则ABC的重心G的坐标是（ ）A.(7/3,-5/3) B.(7/3,-3) C.(-1/3,5/3) D.(-1/3,-3),4、y轴存在一点P，满足P与A(4,-6)的距离等于5，则点P的坐标为 。,1、点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点是（,平面直角坐标系 中的伸缩变换,平面直角坐标系,思考：,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,
16、y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。,上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，,保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P(x, y)，坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。,思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?,在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。,上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一
17、点，,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P(x, y),坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?,在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.,即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P(x, y)，坐标对应关系为:,。,把这样的变换叫做平面直角坐
18、标系中的一个坐标伸缩变换,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:,定义:,的作用下，点P(x, y) 对应P(x, y).,称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。,上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。,在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义:的,例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:,后的图形。,(1) 2x+3y=0;,(2) x2+y2=
19、1,代入 2x+3y=0;,；,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的,直线仍然变成直线，,而圆可以变成椭圆，,那么椭圆可以变成圆吗？,抛物线、双曲线变成什么曲线？,在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可,补充练习：,3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）,补充练习：1 求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：（1，2）,6 设M1是A1(x1, y1)与B1(x2, y2)的中点，经过伸缩变换后, 它们分别为M2, A2, B2，求证：M2是A2B2的中点.,4 曲线变成曲线的伸缩变换是,7
20、已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求ABC的外心的 轨迹方程。,则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建立直角坐标系，,设ABC外心为P（x,y）,由|PA|=|PB|得,7 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 则A,8 在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x2+y2=1,9 在同一直角坐标系下，经过伸缩变换 后,曲线C变为x29y2 =1,求曲线C的方程并画出图形。,8 在同一直角坐标系下，求满足下列图形的,以
21、接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，,则 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020),设P（x, y）为巨响为生点，,因A点比B点晚4s听到爆炸声，,故|PA| |PB|=3404=1360,由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，,PO的方程为y=x，,由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 上,a=680, c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402.,所以双曲线的方程为：,用y=x代入上式，得,答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心,yxBACPo 以接报中心为原点O，,
