第三章线性方程组课件.ppt

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,内容,1矩阵的初等变换2初等矩阵3矩阵的秩4线性方程组的解,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,要求,1熟练掌握用初等变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形； 理解矩阵等价的概念；2理解初等矩阵，理解初等矩阵与初等变换的联系； 掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；3理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与矩阵的秩的关系。理解矩阵秩的基本性质。4掌握线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，熟练掌握应用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；5知道矩阵方程AX=B有解

2、的充分必要条件。,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,重点、难点,1矩阵的秩的求法2线性方程组的有解情况的判断及求解3初等变换的应用4矩阵的秩的性质及应用,一、 矩阵的初等变换,1引例（用消元法解线性方程组）,引例 用消元法解线性方程组,【解】, （1）, （2）, （3）,一、 矩阵的初等变换, （4）, （5）,回代求解,一、 矩阵的初等变换, （5）,由 = y=z+2 ,将 代入 = x=-2z-1 ,z 可取任意实数,若令 z=c，(c为任意常数)，则方程组的解可记为,一、 矩阵的初等变换,下面来分析一些用消元法解方程组的过程：,（1）用到三种变换：交换方程的次序；以不等于零的常数乘

3、以某个方程；一个方程加上另一个方程的 k 倍。,（2）这三种变换均可逆，所以变换前后的方程是同解， 从而可求出方程组的全部解，称为方程组的同解变换。,（3）运算过程中只有系数和右端常数参与运算，未知量仅仅是起到占位作用，而为参与任何实质计算。,一、 矩阵的初等变换,2初等变换,定义（初等行变换）我们将下述三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行，记作 ri rj；（2）以非零数 k 乘某行的所有元素，记作 kri；（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作 ri+krj。,说明：, 将上述定义中的“行”改为“列”，即为初等列变换的定义； 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为

4、初等变换； 初等变换均可逆，其逆变换均为初等变换。,一、 矩阵的初等变换,例,一、 矩阵的初等变换,3等价矩阵,定义（等价矩阵）如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。,矩阵等价关系满足以下性质： 反身性； 对称性； 传递性。满足此三条性质的任何关系都可以称为等价关系。,注：两个线性方程组同解，则称它们等价。,一、 矩阵的初等变换,例1 利用初等行变换解线性方程组,【解】,首先写出原方程组的增广矩阵，然后对增广矩阵做初等行变换。,一、 矩阵的初等变换,以B5为增广矩阵的线性方程组为：,令 z=c （c为任意常数），则有,一、 矩阵的初等变换,4行阶梯形矩阵,定义（行阶梯形矩

5、阵）,上述矩阵B4具有如下特点： 横线下方全是 0 ； 每个阶梯只有一行，阶梯数即非零行行数； 竖线后面第一个元素为非零元；将满足此特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。,一、 矩阵的初等变换,定义（行最简形矩阵）,矩阵B5除满足行阶梯形矩阵的特点外，还满足：(4) 每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列的其余元素为0；将满足条件(4)的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵。,一、 矩阵的初等变换,定义（矩阵的标准形）,上述矩阵的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素均匀 0 ；满足此条件的矩阵成为 矩阵的标准形。,一、 矩阵的初等变换,例 2 用初等行变换化矩阵 A 为行最简形。,【答案】,二、 初等矩阵,

6、1初等矩阵,定义（初等矩阵）,由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，有三种类型：,E(i,j)，E(i(k)，E(i,j(k)。,相关结论：,二、 初等矩阵,2矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系,定理 对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应的初等矩阵左（右）乘矩阵A。,【证明提示】,对矩阵A作行（列）分块，然后分别证明即可。,二、 初等矩阵,3可逆方阵的初等变换求法,定理 设 A 为 n 阶方阵，则 A 可逆 存在有限个初等矩阵 P1，P2，Pk，使得 A=P1P2Pk 。,【证明】 （必要性）,设 A 可逆，且 A 的标准形为 F ，由 FA，知F 经过有限次初等变换可化为 A ，即有

7、初等矩阵P1，P2，Pk，使得A=P1P2PsFPs+1Pk因为 A 可逆，P1，P2，Pk 也都可逆，故 F 可逆。,所以 F=E ，且 A=P1P2Pk 。,二、初等矩阵,（充分性）,设 A=P1P2Pk，因为初等矩阵均可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。所以 A 可逆。,推论1,推论2,方阵 A 可逆 A E （按行）， 即 A 可以通过初等行变换变成 E 。,AmnBmn 存在可逆矩阵 P 和 Q ，使得 A=PBQ。,二、初等矩阵,方法,AX=B（其中A可逆）的初等变换解法。,由 A 可逆，则存在初等矩阵 P1，P2，Pk，使得 A=P1P2Pk 从而 A-1=Pk-1P1-1， Pk

8、-1P1-1A=E， Pk-1P1-1B=A-1B，所以,综上，要求 A-1B，只需,特殊情况：当B=E时，,二、初等矩阵,例3 求矩阵A的逆矩阵，其中,【解】,二、初等矩阵,例4 解矩阵方程 AX=A+X，其中,【答案】,原方程可变为,三、 矩阵的秩,1矩阵的秩,定义（k阶子阵）,在矩阵 A 中任取 k 行 k 列，位于这些行与列相交处的元素，按照原来相应位置构成的 k 阶矩阵。,定义（k阶子式）,矩阵 A 的 k 阶子阵的行列式。,mn 型矩阵 A 的 k 阶子式共有 CmkCnk 个。,定义（矩阵的秩）,如果矩阵 A 中有一个 r 阶子式 Dr0，且所有的 r+1 阶子式（如果存在）Dr

9、+1=0，则称 Dr 为 A 的一个最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩，记为 R(A)。,三、 矩阵的秩,注：,1规定 R(Omn)=0；2设 A=(aij)nxn，若R(A)=n，称A为满秩阵； 若R(A)n，称A为降秩阵；3设A=(aij)mxn， 若R(A)=minm,n， 称 A 为满秩阵；4R(AT)=R(A)；5利用定义求矩阵的秩时，要从高阶向低阶逐个子式 进行检验；如果 k+1 阶子式均为0，而某个 k+1 阶子式不等于0，则 R(A)=k。,三、 矩阵的秩,例5 求矩阵 A 的秩，其中,【答案】 R(A)=1 .,三、 矩阵的秩,2矩阵秩的计算,定理 若 AB，则R(A

10、)=R(B)。,【注】如果此定理成立，则应有下面的一些应用。, 初等变换不改变矩阵的秩； 提供了一种求秩的简便方法； 矩阵的秩为等价矩阵之间的一个不变量。,【证明思路】, A 经一次行初等变换后为 B 时，R(A)=R(B)； A 经有限次行初等变换后为 B 时，R(A)=R(B)； 对列变换上述结论亦成立； 推出定理。,三、 矩阵的秩,求秩的方法,首先，利用初等行变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵B；然后，求出矩阵 B 的秩，即,R(A)=R(B)=B的非零行的行数,【答案】,R(A)=3，一个最高阶非零子式为,三、 矩阵的秩,【解】,因为 R(A)=2，故,三、 矩阵的秩,3矩阵秩的性质, 0R

11、(Amn)minm,n；, R(AT)=R(A);, AB = R(A)=R(B)；, 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)；, maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B)； 当 B=b 为列向量时，R(A)R(A,b)R(A)+1；, R(A+B)R(A)+R(B)；, R(AB)minR(A) , R(B);, 若 AmnBns=0ms，则R(A)+R(B)n。,三、 矩阵的秩, 的证明：,由于 R(A) 的最高阶非零子式总是 (A,B) 的非零子式，故 R(A)R(A,B)；同理， R(B)R(A,B)；所以 max R(A) , R(B) R(A,B) 。,设 R(

12、A)=r，R(B)=t，则 R(AT)=r，R(BT)=t；对 AT，BT 分别作行初等变换，并化成行阶梯形C和D，则 C 和 D 分别有 r 个和 t 个非零行，从而,三、 矩阵的秩,例8 设 A 为 n 阶方阵，证明 R(A+E)+R(A-E) n 。,【证明】,由性质 ，,而,三、 矩阵的秩,例9 设 A 为 mn 矩阵， 证明：若 AX=AY，且 R(A)=n，则 X=Y 。,【证明】,由秩的性质，得到,而 R(A)=n,四、线性方程组的解,1基本理论,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,若(1)或(2)有解，则称(1)是相容的；若(1)或(2)无解，则称(1)是不相容的。,四

13、、线性方程组的解,【定理】,线性方程组 AX=b,无解 R(A)R(A,b)； 有唯一解 R(A)=R(A,b)=n； 无限多解 R(A)=R(B)n 。,注记,此定理给出了AX=b的解的判别的所有情况； 对 AX=b 的解的情况判别可以借助矩阵的秩 和矩阵的行初等变换进行；(3) 此定理充分性的证明过程给出了求解方法。,【证明】 参见教材 P72。,四、线性方程组的解,2解法举例,解法过程的详细描述参见教材P72-73页。,例10 求解齐次线性方程组,【解】,同解方程组为：,四、线性方程组的解,由此，得到,写成向量形式为,四、线性方程组的解,例11 求解非齐次线性方程组,【答案】 R(A)=

14、2R(A,b)=3，无解。,四、线性方程组的解,例12 求解非齐次线性方程组,【答案】 通解为：,四、线性方程组的解,【答案】, 当 0且3时，方程组有唯一解； 当 =0 时，R(A)=1R(A,b)=2，无解； 当 =3 时，R(A)=R(B)=2，有无限多解。,有无限多解时的通解为：,四、线性方程组的解,3结论与应用,结论1 线性方程组 AX=b有解 R(A)=R(A,b)；结论2 n元齐次线性方程组 AX=0 有非零解 R(A)=n；结论3 AX=B有解 R(A)=R(A,B)；结论4 设 AB=C，则 R(C)minR(A),R(B);结论5 AmnXns=0 只有零解 R(A)=n

15、。,四、线性方程组的解,例14 设,a ,b为何值时，矩阵方程 AX=B无解； a,b为何值时，AX=B有解，并求出全部解。,【分析】,若设 X=(X1,X2)，B=(1,2)，则矩阵方程 AX=B AX1= 1，AX2= 2 。从而矩阵方程 AX=B是否有解等价于 AX1= 1与AX2= 2 是否有解。,四、线性方程组的解,【解】,当 a=3，b1时，AX=B 无解； 当 a3时，AX=B有唯一解，X=(X1，X2)，其中,(3) 当 a=3,b=1时，AX=B的通解为：,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,作业：,P79：1(1)(4)；3(1)；5；9(1)(3)；P80：11；12(2)(3)；13(1)(4)；15；P81：17；18。,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,