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1、等差数列的性质,知识回顾,等差数列,等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，当d=0时，为常函数。,an=a1+(n-1)d,等差数列各项对应的点都在同一条直线上.,【说明】AAA公式中,一、判定题：下列数列是否是等差数列？,. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a， ；,复习巩固：,(1)等差数列8，5，2，的第5项是 AA AAAAAAA (2)等差数列-5，-9，-13，的第n项是A,-4,an = -5+(n-1).(-4),10,【说明】 在等
2、差数列an的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，可求出 另外一个,二、填空题：,简言之“知三求四”这里包含函数思想和方程思想,(3)已知an为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n =,性质一、任意两项的关系 在等差数列 中，有,性质二、等差中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5（3）-12， ，0 （4）0， ，0,3,2,-6,0,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,思考：,数列an是等差数列，m、n、p、qN+，且m+n=p+q，则am+an=a
3、p+aq。,性质三、多项关系,推广：若m+n=2p，则am+an=2ap。,判断对错：,可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多,1、已知：数列的通项公式为 an=6n-1 问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？,分析：由等差数列定义只需判断an+1-an(nN+) 的结果是否为常数。,解：an+1-an=6（n+1）-1-（ 6n-1 ）=6(常数),an是等差数列，其首项为a1=61-1=5,公差为6.,例题分析,例2 .在等差数列an中(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,例题分析,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+
4、a7+a8,(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,解：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15,解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187 ， 解 、 得,或,d= _2或2, 从而a14= _3或31,课堂练习,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1
5、 C .-2 D. 2,B,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an= -4,-35,3. 在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( pq )，求ap+q,d=2,a101=154,d= -1,ap+q =0,研究性问题,2.已知an为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?,1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n.,3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.,d
6、= 4,n=72,a 3= a 10 +(3-10)d,a 3=27,设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,3.更一般的情形，an= ，d=,小结：,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,
