复数的三角形式与指数形式ppt课件.ppt

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1、复数的三角形式与指数形式,4.1复数的三角形式4.2复数的指数形式4.3复数的应用,在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。量子力学中波函数普遍来说是复数形式的,而上述实部加虚部的形式在很多情况下不方便使用,因此我们有必要对复数了解得更多些。本讲讲三个问题,4.1、复数的三角形式,一、复数的幅角与模,我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b),也对应复平面上一个向量(如右图所示),这个向量的长度叫做复数a+bi的模,记为|a+bi|,一般情况下,复数的模用字母r表示。,同时,这个向量针对x轴的正方向有一个方向角,我们称为幅角,记为arg(a+bi),幅

2、角一般情形下用希腊字母表示。,显然,把它们代入复数的代数形式得:,4.1、复数的三角形式,这样,我们把 叫做复数a+bi的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。,所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。,1、复数的乘法,设,那么,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,1、复数的乘法,这说明,两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,即,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:,将向量z1的模扩大为原来的r2倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角2,就得到z1z2。,4.1、复数的三角

3、形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,即,这说明,两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:,将向量z1的模缩小为原来的r2分之一,然后再将它绕原点顺时针旋转角2,就得到z1z2。,3、复数的乘方。,利用复数的乘法不难得到,这说明,复数的n次方等于它模的n次方,幅角的n倍。,4、复数的开方,对于复数 ,根据代数基本定理及其推论知,任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。,将向量z1的模变为原来的n次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角n,就得到zn。,4.1、复数的三角形式,

4、二、复数三角形式的运算法则,3、复数的乘方。,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:,设 的一个n次方根为,4、复数的开方,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,那么,所以,即,显然,当k从0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同,但k从n开始取值后,前面的终边又周期性出现。,因此,复数z的n个n次方根为,4、复数的开方,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,从求根公式可以看出,相邻两个根之间幅角相差,所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心,以它的模的n次算术根为半径的圆周上。,因此,求一个复数z的全部n次方根,可以用下面的几何手段进行:,先作出圆心在原点

5、,半径为 的圆,然后作出角 的终边,以这条终边与圆的交点为分点,将圆周n等分,那么,每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。,4.2、复数的指数形式,在对复数三角形式的乘法规则讨论中,我们发现,复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘,幅角相加),这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现:,对数函数与指数函数,前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加;后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。,从形式上看,复数的乘法与指数函数的关系更为密切些:,4.2、复数的指数形式,根据这个特点,复数 应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成 的形式,这里有三个问题需要解决:,(

6、1)反映复数本质特征的三个因素:模r、幅角、虚数单位i应各自摆放在什么位置?,(2)在这些位置上它们应呈现什么形态?,(3)作为指数形式的底应该用什么常数?,先来研究第一个问题.,4.2、复数的指数形式,再重新观察下面的等式,首先,显然模r应该占据 中系数y的位置,其次,幅角应该占据 中指数x的位置,对于虚数单位i,如果放到系数y的位置会怎样?,由于,等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的。,因此幅角也应该占据指数的位置。,这样第二个问题就产生了:它与幅角一起在指数的位置上是什么关系?(相加?相乘?),4.2、复数的指数形式,幅角与虚数单位i是相加的关系会怎样?,先考察模为1的复数,如

7、果写成 的形式,一方面,由于,与 的形式差别不是很大,,其次,在复数的乘方法则中,应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍,所以虚数单位与幅角不应该是相加关系,而应该是相乘关系,现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合,4.2、复数的指数形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题:应该选用哪个常数作为底数?,我们暂时将 形式化地看做r与的“二元函数”,数学是“形式化的科学”,因此,一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。,下面我们将 等式两边对形式化地求“偏微分”,4.2、复数的指数形式,于是由,这样我们利用不太严格的推理得到

8、了复数的第三种表现形式指数式,从复数的模与幅角的角度看,复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读复数的指数形式的证明,的证明:泰勒级数法,写成泰勒级数形式:,将,代入可得:,e iz = cos z+ i sin z(欧拉公式) z R,将函数,4.2、复数的指数形式,由复数的三角形式与指数形式,我们很容易得到下面的两个公式:,这两个公式被统称为欧拉公式,在复数的指数形式中,令r=1,=,就得到下面的等式,或,数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看着它但却不能理解它。,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起:两个超

9、越数自然对数的底e,圆周率;三个单位虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。,或,4.2、复数的指数形式,关于自然对数的底e和圆周率,这里我想多说那么几句:它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数,尽管从理论上我们知道,超越数比有理数、代数数(可以表示为有理系数一元多项式的根的数)要多得多,但为人类所认识的超越数却仅此两个!,令人不可思议的是,它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。,在复数的指数形式中,令r=1,=,就得到下面的等式,4.3、复数的应用,利用复数的三角形式,我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点,我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。,

10、例1:三角级数求和,那么对任何自然数k,有,于是,4.3、复数的应用,例1:三角级数求和,解:,另一方面,4.3、复数的应用,例1:三角级数求和,解:,4.3、复数的应用,例1:三角级数求和,即,所以,4.3、复数的应用,例2:设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点,点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且MNAM成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。,分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。,设M、N、A对应的复数依次为:,那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到,用复数运

11、算来实现这个变换就是,4.3、复数的应用,例2:设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点,点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且MNAM成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。,即,所以,但,故,4.3、复数的应用,例2:设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点,点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且MNAM成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。,整理得:,或,思考与练习,2:设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点,点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点,并且MNAM成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。,1、利用复数推导三倍角公式,3、设z1、z2、z3 是复平面上三个点A、B、C对应的复数,证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是,

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