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1、1,第二节,逆矩阵,2,则矩阵 称为A的逆矩阵.,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 a 的倒数，,（或称 a 的逆）；,单位阵E类似于1在数的乘法运算中的地位.,那么，对于矩阵A ，,如果存在一个矩阵 ,使得,对方阵, 有AE=EA=A,3,定义,例 设,设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵，使得,则称A为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵，记为,说明,(1) 只有方阵才可能可逆;,(2) 逆阵若存在, 则必唯一.,证,设B和C都是A的可逆矩阵，则,4,问题:,(1) 什么条件下A才可逆?,(2) 如果可逆, 如何求 ?,若A可逆,两边取行列式,若,则称A是非奇异的(或非退化的);,否则称A为奇
2、异的(或退化的)。,是A可逆的必要条件.,下面说明这个条件也是充分的.,5,定义,性质,证明,为A的伴随矩阵 .,代数余子式, 称矩阵,回忆行列式按行展开公式:,6,类似有,7,矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异。当A可逆时，有,定理,证,充分性:,由,若,则,推论,证,8,求方阵 的逆矩阵.,例1,逆矩阵的求法,解,9,同理可求得,对于3阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法-初等变换法。,10,例2,故A可逆的充分必要条件是,且,例如，,11,例3,例如，,12,例4,解,(1),方程两端左乘矩阵,13,14,例5,解,15,例6,证,16,逆矩阵的运算性质,证,证,17,注意,A，B可逆，A+B不一定可逆，,即使可逆，一般,可逆阵A若对称(反对称)，则 也对称(反对称).,对称;,反对称.,对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。,证,18,线性方程组,写成矩阵形式,其中,此即克莱姆法则。,19,例7,证,所以,20,例8,证,21,例9,解,22,练习：,P69 习题二,补充题,23,补充题,证,
