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1、极限存在准则及其应用,数理系,苑静,第一章,二、极限存在准则的应用,一、极限存在准则,极限存在准则及其应用,内容回顾：,数列的定义：,自变量取正整数的函数称为数列，记作,或,称为通项。,数列极限的定义：,无限增大时，数列,无限趋近于,则称该数列以,如果,为极限。,常数,单调有界数列必有极限,一、极限存在准则,二、极限存在准则的应用,例1 已知数列,证明 此数列极限存在。,证：,显然单调递增，且,其中,自然对数之底,此数列极限必然存在。,斐波那契数列,斐波那契（1170 1250）,意大利商人兼数学家他在著作算盘书中，首先引入阿拉伯数字，將十进位值记数法介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的
2、影响。,问题提出,在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题：,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,解答,1 月1 对,解答,1 月1 对,2 月1 对,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,解答,1 月1 对,2 月 1对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,斐波那契数列,令,依次写出数列，就是,这就是斐波那契数列，其中的任一个数，,都叫做斐波那契数。,用,表示第,个月的兔子的对数，则有,如下递推公式,与斐波那
3、契数列密切相关的一个重要极限是,或者,下面我们先来说明,式的含义并证明（至于,式的含义见本例稍后的说明。）,记,则,就是第,月相对于第,月的兔子对数增长率,若,存在，则,表示许多年后兔子,对数的月增长率。,并求此极限。,证：,其中,例2 证明数列,用数学归纳法容易证明：,数列,是单调减少的。,是单调增加的；,数列,又对一切,成立，,是有界的。,即数列,的极限存在，,根据“单调有界数列必有极限”的准则，,的极限存在，,与,分别记作,知数列,即,分别对,与,的两边取极限，得,与,整理，得,与,两式相减，得,即,因此,存在，记作,即,对,两边取极限，得,解此方程，得,因为,即,从而,如图,点C把线段
4、AB分成两条线段AC和BC,如果,黄金分割（Golden Section）,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫,做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。,那么，黄金分割与斐波那契数列有何关系呢？,原来，黄金分割点的位置恰好是数列,当,时的,极限,见（1）式。,黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实,验中有着广泛而重要的应用。,图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618,叶子中的黄金分割,建筑中的神秘数字,文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.,绘画艺术中的黄金分割,蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.,大自然中的斐波那契数列,花瓣的数目,海棠（2）,钱兰（3）,大自然中的斐波那契数列,花瓣的数目,洋紫荊（5）,黃蝉（5）,蝴蝶兰（5）,大自然中的斐波那契数列,花瓣的数目,雏菊（13）,雏菊（13）,斐波那契数列与音乐,斐波那契数列与音乐,内容小结,1.数列极限的存在准则,2.单调有界准则的应用,3.斐波那契数列和黄金分割,单调有界准则,作业,P30 1,3(2),4 P56 4(1),(3),4(3)提示:,可用数学归纳法证,谢谢大家,
