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1、一、正项级数及其审敛法,1.3 正项级数的审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、正项级数及其审敛法,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.,这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的,而单调有界数列是有极限.,下页,定理1(正项级数收敛的充要条件),定理2(比较审敛法),定理3,下页,仅就unvn(n1,2,)的情形证明.,简要证明,因此级数un收敛.,即部分和数列sn有界.,v1v2 vns(n1,2,),snu1u2 un,则级数un的部分和,设级数vn收敛,其和为s,反之,若级数un发散,则级数vn必发散.,由已证结论,级
2、数un也收敛,矛盾.,这是因为如果,级数vn收敛,定理2(比较审敛法),解,下页,定理2(比较审敛法),设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛;若级数un发散,则级数vn发散.,将级数改写成,2)若,也即sn有界，由定理结论知，当p1时，p-级数收敛。,设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛;若级数un发散,则级数vn发散.,p级数的收敛性,证,下页,定理2(比较审敛法),调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.,若存在,对一切,例：,提示：,调和级数与 p 级数是用于正项级数
3、收敛性判断的两个常用的比较级数.,若存在,对一切,简要证明,当nN时,有不等式,再根据比较审敛法,即得所要证的结论.,定理4(比较审敛法的极限形式),定理4(比较审敛法的极限形式),下页,解,下页,定理4(比较审敛法的极限形式),例3,解:,下页,定理5(极限审敛法),例4,解:,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,思考：,设级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,思考：,这是一个交错级数.,解,由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,首页,则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.,定理7(莱布尼茨（Leibnitz）定理),因为此级数满足,例5,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,(2),发散,故原级数发散.,下页,定理8(比值审敛法 达朗贝尔审敛法),证明：,提示:,思考：,提示:,思考：,例10,解：,下页,定理9(根值审敛法 柯西判别法),所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,下页,定理9(根值审敛法 柯西判别法),时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,思考:,但,级数收敛;,级数发散.,定理9(根值审敛法 柯西判别法),例,解：,定理,
