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1、引 言,从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分.本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.,Chapt 8.定积分,背景来源面积的计算,在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.,长
2、方形 长宽 ab 正方形 边长边长 aa 平行四边形 底高 ah 三角形 底高2 ah2 梯形（上底下底）高2（ab）h2圆，扇形等,如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决.,一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域：(1)是矩形(已知的)，(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况)，(3)是曲边梯形。所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分,实例1:（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,8.1 定积分的概念,图形.
3、,我们如何求曲边梯形的面积A=？,圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.,在初等数学里，,现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.,这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,基本思想(以直代曲),具体做法(如下),1.分割,分法任意,（化整为零）,在区间a,b内任意插入(n-1)个分点,称为区间a,b的一个分法(分割)，记为T.,分法T将区间a,b分成n个小区间，,过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为
4、n 个小曲边梯形，其面积分别记为Ai(i=1,2,n),把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形,2.代替,（化曲为直）,在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点i，于是，以为底，为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即,取法任意,用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，,3.求和,（积零为整）,将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值.曲边梯形面积A的近似值为：,将a,b逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论 怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能转化为
5、曲边梯形的面积.,求n个小矩形面积之和.,4.取极限,（化直为曲）,于是，就相当于分割无限加细，让每个小区间的长度都无限趋近于零,即n个小区间之长的最大者.,如果当 时，n个矩形面积之和 存在极限，设,则称A是曲边梯形面积.,由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法.,由近似值过渡到精确值,求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边
6、看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。,然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。,实例2:（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,以恒代变,(1)分割,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(
7、2)代替,路程的近似值,从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似 求和、取极限”，或者说都归结为形如 的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：,二、定积分的定义,定义:设函数 f(x)在 a,b 上有定义,在 a,b内任意插入(n-1)分点 使,T=x0,x1,xn=1,2,n,将 a,b 分成 n个小区间i=xi-1,xi i=1,2,n 这些分点构成a
8、,b 的一个分法(分割)，记为T,x1,xn-1,分法任意,各小区间的长度依此记为xi=xi-xi-1,(i=1,2,，n),在 上任取点i i,i=1,2,n，作和,称此和式为 f(x)在 a,b 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和.,(Rienann和),注：显然函数 f(x)在 a,b 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组=(i i,i=1,n)的取法有关.,取法任意,记,如果不论对a,b怎样的分法(分割)；,也不论在小区间 上，点 怎样的取法，,只要 时，积分和 存在确定的有限极限,则称函数 f(x)在 a,b 上(黎曼)可积；数 I 称为 f 在 a,b 上的定积分.
9、亦称黎曼积分,记为,且数与分法T无关，也与 在 的取法无关.,在定积分符号中，各部分的名称如下：,(Rienann积分),注意：,规定当 a=b 时,规定当 a b 时,函数f(x)在区间a,b的定积分的定义要求ab且ab,定积分没有意义，为了运算的需要，,时必定同时有,(3)一般不能用,因为,来代替,时未必有,但,唯一重要的是分割的细度,极限的存在，,与分割T的形式无关，与,的选择也无关；,当,足够小时，,总能使积分和与某一确定的数I无限接近.,把定积分定义的,说法和函数极限的,说法相对照，,便会发现两者有相似的陈述方式，,因此我们也常用极限符号来表达定积分，,(4)积分和的极限与函数的极限
10、有很大的区别,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：,然而，,在函数极限,中，对每一个变量x来说，,f(x)的值是唯一确定的；由于积分和与函数f(X),分法T,取法有关。而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个 并不唯一对应积分和的一个值.它的要求条件很强，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.,(5),不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.,定积分则是某种特殊和式的极限，,求不定积分是求导数的逆运算，,1.曲线 y=f(x)0，直线 x=a，x=b，所围成的曲边
11、梯形面积可用定积分表示为,根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.,2.物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即,黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献。,举例,2,-2,-2,2,0,A,三、函数可积的必要条件,证明：（用反证法）,假设函数f(x)在a,b无界,对于a,b的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在 函数f(x)无界.,即积分和无界，从而，积分和不存在极限，这与函数f(x)在a,b可积矛盾.,注：,函数f(x)在
12、a,b有界仅是函数f(x)在a,b可积的必要条件，不是充分条件.,即，有的函数虽然有界，但也不可积.例如：狄利克雷(Dirichlet)函数，,X是0,1的有理函数,X是0,1的无理函数,D(x)在0,1内有界，但它在0,1不可积.,若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数在所论区间上是不可积的.,分析：,证明：,对于0,1的任意分法T,因为在0,1的有理函数与无理函数是处处稠密的，所以，在每个小区间上既存在有理函数又存在无理函数.若每个 取为无理函数，则积分和,若每个 取为无理函数，则积分和,于是，当 时，积分和不存在极限，即D(x)在0,1不可积.,D(x)在0,1不可
13、积.,1、当 f(x)0，定积分,的几何意义就是曲线 y=f(x)直线 x=a，x=b，y=0 所围成的曲边梯形的面积,四、定积分的几何意义,2、当函数 f(x)0，xa,b 时定积分,几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数.即,几何意义：,a,b,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,a,b,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3.定积分的几何意义,例 利用定义计算定积分,解,人物简介,黎曼（18261866）Riemann，Georg Friedrich Bernhard德国数学家，物理学家。,1826年9月17日
14、生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学，在大学期间有两年去柏林大学就读，受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1849年回格丁根。1851 年获博士学位。1854 年成为格丁根大学的讲师，1859年接替狄利克雷成为教授。,1851 年论证 了复变 函数 可导的 必要充分 条件（即柯西-黎曼方程）。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理，成为函数的几何理论的基础。1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。1854年发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解 空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1857年发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。,
